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O QUANTO - que é em primeiro lugar a quantidade com uma determinação ou um termo em geral – em sua completa determinação é o número. O quanto é diferente em segundo lugar, sobretudo em um quanto extensivo, em que o termo é uma limitação da multiplicidade existente - então, dado que esta existência transcende a ser-para-si, a um quanto intensivo, ou grau, que tem sua determinação em outro, dado que é para si e, portanto, como um termo indiferente, é igualmente imediatamente fora de si mesmo. Como tal contradição posta, entre o ser assim simplesmente determinado em si mesmo e tendo sua determinação fora de si mesmo e indicando para ela fora de si mesmo, o quanto transfere em terceiro lugar, ao infinito quantitativo, como aquele que é posto em si mesmo extrinsecamente.
A quantidade é quanto, isto é, tem um término, tanto em magnitude contínua, quanto em magnitude descontínua. A diferença entre essas espécies não tem significado aqui, no começo.
A quantidade como o ser-para-si superado já é em si e por si mesma indiferente quanto ao seu término. Mas com isso o término não é igualmente indiferente, isto é, ser um quanto; porque contém em si mesmo o que um, o absoluto determinado sendo como seu próprio momento, que, portanto, como posicionado na continuidade ou unidade dela, é seu término, mas que ela permanece como um, na qual ela se torna [a quantidade] em geral.
Este, portanto, é o começo do quanto, mas é aquele como [um] da quantidade. Portanto, é em primeiro lugar contínuo, é unidade; segundo, é descontínua, isto é, a multiplicidade existente em si mesma (como na magnitude. contínuo) ou bem estabelecido (como na magnitude descontínua) dos que têm igualdade entre eles, isto é, aquela continuidade [que é] a mesma unidade. Em terceiro lugar, este é também a negação dos muitos como um termo simples, é uma exclusão de si mesmo, sendo outro, é uma determinação de se na frente de outros quanta. O um, portanto, é um termo, α) que se refere a si mesmo, β) que é incluído para si mesmo, γ) que exclui outro termo.
O quanto, posto completamente nessas determinações, é o número. Seu completo ser-posto está na existência do termo como multiplicidade e, portanto, é o seu ser distinto em relação à unidade. O número, em consequência, aparece como uma quantidade descontínua, mas também tem continuidade na unidade. Então tanto é também o quanto em sua mais completa determinação, pois o termo [é] nele como multiplicidade determinado, que tem como princípio o único, isto é, o absolutamente determinado. A continuidade, como que onde o único está sozinho em si, como superado - isto é, colocado como uma unidade – é a forma da indeterminação. O quanto, considerado apenas como tal, é terminado em geral; seu término é uma determinação abstrata e simples dele. Mas assim que é um número, esse termo é colocado como múltiplo em si mesmo. Ele contém os muitos que compõem sua existência, mas não os contém indefinidamente, mas sim neles a determinação do termo cai. O termo exclui outra existência, isto é, as muitas outras, e os excluídos por ele são certa multidão, a quantidade, e em relação a eles, quanto à descontinuidade como é no número, a outra é a unidade, a continuidade delas. A quantidade e a unidade formam os momentos do número.
No que diz respeito à quantidade, temos que ver mais exatamente como os muitos deles consistem no prazo. Sobre a quantidade é exata a expressão [que diz] que ele consiste em muitos, já que alguns não estão nele como eliminados, mas estão nele, só colocados com o termo exclusivo, diante do qual eles são indiferentes. Mas este {termo} não é [indiferente] para eles. No ser-determinado, a relação do termo com ele havia sido estabelecida no começo de tal maneira que o ser determinado, na medida em que era afirmativo, seu termo permanecia subsistente, e isso, que era a negação, era encontrado além, além daquele. Da mesma forma em muitos deles, a sua quebra e a exclusão de outros aparece como uma determinação que está fora dos incluídos. Mas tem mostrado lá que o termo penetra o ser determinado, alcança até este, e que consequentemente o algo é terminado por sua determinação, isto é, é finito. -Isso é representado no quantitativo do número, por exemplo, cem, de modo que apenas o centésimo terminaria os muitos para que fossem cem.
Por um lado isso é preciso; mas por outro lado nenhum dos cem tem um privilégio, porque eles são apenas mesmo; cada um é, portanto, o centésimo; todos eles pertencem, então, ao termo pelo qual o número é cem. Este número não pode, por sua determinação, dispensar qualquer; os outros, portanto, não eles constituem na frente do centésimo um determinado ser que está fora de prazo ou apenas dentro dele, e em geral é diferente dele. A quantidade, portanto, não é uma multiplicidade comparada com aquela que inclui e termina, mas constitui-se nesta terminação, que é certo quanto; os muitos constituintes e em um número, um dois, um dez, cem, etc.
Aquele que termina, é agora, o ser determinado na frente dos outros, a distinção do número em relação aos demais. Mas esta distinção não se torna a determinação qualitativa, mas permanece quantitativa, e cai na reflexão extrínseca que faz a comparação. O número é como um que tem voltou a si e é indiferente aos outros. Esta indiferença do número na frente dos outros é um determinação essencial dele; e constitui seu ser determinado em si mesmo, mas ao mesmo tempo sua própria exterioridade. O número é assim numérico como o absolutamente determinado, que tem ao mesmo tempo o forma do imediatismo simples, e para o qual, então, a relação com o outro é completamente extrínseca. Como um, que é o número, também tem a determinação (como esta é a relação com o outro) como o seu momento em si mesmo, em sua distinção entre unidade e quantidade; e a quantia é ela própria a tipicidade que quer dizer [o que é número] é em si mesma essa extrinsecidade absoluta. - Esta contradição do número ou quanto em geral em si, é a qualidade do quanto, em cujas outras determinações esta contradição se desenvolve.
As grandezas espaciais e numéricas são geralmente consideradas como duas espécies, então a magnitude espacial seria uma magnitude determinada por si mesma, assim como a magnitude numérica. Sua distinção consistiria apenas nas diferentes determinações de continuidade e descontinuidade, mas quantas seriam na mesma nota. Em geral, a geometria tem como objeto a magnitude contínua na magnitude espacial, e a aritmética na magnitude numérica o descontínuo. Mas, dada essa desigualdade de seus objetos, eles não têm igual caminho de perfeição em sua delimitação ou em seu ser determinado. A magnitude espacial tem apenas delimitação em geral; e assim que tem que ser considerado apenas como um quanto determinado, ele precisa do número. A geometria, como tal, não mede figuras espaciais, não é uma arte de medir, mas apenas as compara. Também as determinações nas definições são tiradas em parte da igualdade dos lados, dos ângulos e da igualdade distância Então o círculo, já que é baseado apenas na igualdade da distância de todos os pontos possível nele de um ponto central, não precisa de nenhum número para sua determinação. Estas determinações, baseadas em igualdade ou desigualdade, são genuinamente geométricas. Mas elas não são suficientes e para outros, por exemplo, o triângulo, o quadrado, o número é necessário, o que, em seu princípio, vale a pena dizer um, contém ser determinado por si mesmo, não sendo determinado pela ajuda de outro, e, portanto sem mediar uma comparação. A magnitude espacial tem, naturalmente, no ponto a determinação correspondendo a um; mas o ponto, como sai de si, se torna outra coisa, torna-se linha; porque essencialmente é apenas como um espaço, torna-se, na relação, em uma continuidade, onde seu caráter de ponto, seu ser determinado é por si só, seu é eliminado. Como ser determinado por si mesmo deve ser conservado no ser-fora-de-si, é necessário que a linha seja representada como uma multidão de pessoas, e que o termo recebe em si mesmo a determinação de muitos, isto é, se a magnitude da linha - como a das outras determinações espaciais - for considerada como um número. A aritmética considera o número e os números dela, ou melhor, não os considera, mas opera nelas. Pois o número é a determinação inerte e indiferente; tem que ser ativado e colocado em relação do exterior. As formas de relação são operações aritméticas. Eles são apresentados na aritmética uma após a outra e, claro, a uma depende da outra. No entanto, o fio que guia seu progresso não é enfatizado na aritmética. Mas a partir da mesma determinação conceitual de número é facilmente extraído da composição sistemática para a qual a exposição tem uma reivindicação legítima [o que é feito] desses elementos nos manuais. Essas determinações que dão orientação devem ser brevemente observadas aqui. O número devido ao seu princípio, que é o único, é em geral uma coleção externa, uma figura absolutamente analítica, que não contém nenhuma conexão interna. Uma vez que é assim gerado apenas assim extrínseco, todo cálculo representa uma produção de números, uma numeração ou, mais definitivamente, um co-numerar. Uma diferenciação nessa produção extrínseca, que nunca faz mais nada, só pode ser numa distinção recíproca entre os números que devem ser numerados em conjunto: tal distinção deve ser tomada de outra parte e de uma determinação extrínseca.
A diferença qualitativa, que constitui a determinação do mesmo número, é, como vimos a do unidade e a quantidade; Isso, portanto, reduz qualquer determinação conceitual que possa surgir nas operações aritméticas. Mas a diferença que compete com números como quanto é a identidade extrínseca e a diferença extrínseca, isto é, igualdade e desigualdade, que são momentos de reflexão e têm que estar entre as determinações da essência, quando se fala de diferença.
Além disso, ainda não foi declarado anteriormente que os números em geral podem ser produzidos em formas, por meio de composição ou por meio de separação de [números] e compostos. - Em ambas as maneiras ocorrem em certo tipo de números da mesma maneira, então para uma composição de números, que pode ser chamado de operação positiva, corresponde a uma separação, que pode ser chamada operação negativa. A determinação da operação em si é independente dessa oposição. 1. Após estas observações segue a declaração de formas de calcular. A primeira geração dos números consiste na coleção de muitos como tal, isto é, que cada um deles é coloque apenas como um - [e isso é] a numeração. Já que os extrínsecos estão frente a frente, eles são apresentados de acordo com uma imagem sensível, e a operação, por meio da qual o número é gerado, é uma computação nos dedos, nos pontos, etc. O que é quatro, cinco, etc., só podem ser mostrados. Interromper de acordo com quanto deve ser coberto, é algo acidental e arbitrário, enquanto o termo é extrínseco. – A diferença entre o montante e a unidade, que aparece no progresso das operações, baseia uma sistema numérico - diadico, decádico, etc.- Tal sistema baseia-se inteiramente no arbitrário [que determina] a quantidade constante que deve ser tomada como uma unidade.
Os números que surgiram da numeração são numerados novamente; e sendo colocado assim tão imediatos, são determinados ainda sem qualquer relação entre eles, são indiferentes em relação à igualdade ou desigualdade, são de magnitude acidental em relação ao outro, tão desiguais quanto geral - [e isto é] adicionar. -O que 7 e 5 adicionam doze, é sabido por este meio, que além do 7 ainda são numerados 5 nos dedos ou de outra forma - de onde, em seguida, o resultado [alcançado] é preservado na memória, na mente; porque em tudo isso não há nada intrínseco. Da mesma forma, 7X5 é = 35, são conhecidos por meio de computação nos dedos, etc., ou seja, que um sete é adicionado, numeração, ainda um [sete] e isso é feito cinco vezes, e o resultado também é preservado na memória. O cansaço desta numeração e a invenção de somas e produtos são eliminados por meio de [tabelas] preparado de um mais um (adição), ou de algumas vezes (multiplicação), que você apenas tem que memorizar.
Kant, na introdução à Crítica da Razão Pura, página V, considerou a proposição 7 + 5 = 12 como uma proposição sintética. "No começo, sem dúvida", ele diz, "com certeza devemos pensar que é uma proposição analítica simples, que procede do conceito de um acréscimo de sete e cinco, de acordo com a princípio da contradição. "O conceito de adição significa apenas a determinação abstrata de que esses dois números devem ser tomados em conjunto e, a propósito, como números, de forma extrínseca, vale a pena dizer falta de conceito; [significa] que a partir de sete deve continuar a ser numerado até que tenham sido esgotados os que devem ser adicionados, cujo montante é determinado em cinco; o resultado leva o nome, de outra forma conhecido, de doze. "Só", continua Kant, "quando tu consideras isso com mais cuidado, verifica-se que o conceito de adição de 7 e 5 contém nada mais do que a união dos dois números em um só, onde tu não pensas totalmente e absolutamente o que é esse número único que entende os dois”; "Eu ainda posso quebrar meu conceito de tal possível adição, tanto [como eu desejo], e ainda não eventualmente encontrarei os doze nele." De fato, a transição desse problema para o resultado não tem nada fazer com pensar a adição e com a decomposição do conceito; "Tu tens que sair desse conceito – continua dizendo Kant - e tomar a intuição, os cinco dedos, etc. como um auxílio, e assim somar ao conceito de sete as unidades dos cinco dedos na intuição. "Sem dúvida que os cinco são dados na intuição, vale a pena dizer, representa um ser-reunido, de uma maneira completamente extrínseca, os do pensamento repetido como se queira; mas nenhum dos sete é um conceito. Não estamos na presença de nenhum conceito além do qual nós temos que ir. A adição de 5 e 7 significa a conjunção, faltando em conceito, dos dois números; e numeração continuou desta forma carente de conceito, de sete até os cinco estão esgotados, pode ser chamado de uma junção, uma síntese, como, precisamente, a numeração de um - mas um sintetizo que é de natureza totalmente analítica, porque a conexão é completamente nossa criação e nela não tem nada que não pareça absolutamente extrínseco. O postulado da adição 5 a 7 tem o postulado de numerar em geral a mesma relação que o postulado de prolongar uma linha reta tem que desenhar uma linha reta.
Por meio da expressão "sintetizar", sua determinação é que isso ocorre a priori. De todos contar não é uma determinação de sensação, a única que, de acordo com a determinação kantiana de intuição, permanece para o a posteriori; e contando é certamente uma tarefa que é realizada no chão de intuição abstrata, isto é, que é determinado por meio da categoria de um, e onde é feita abstração de todas as outras determinações de sensibilidade, bem como conceitos. O a priori em geral, é apenas algo vago; a determinação do sentimento, como impulso, sentido, etc., tem momento da própria aprioridade, da mesma forma que o espaço e o tempo existentes, ou seja, o espacial e o temporal são determinados a posteriori. Em conexão com isto, pode-se acrescentar que a afirmação de Kant sobre a constituição sintética de proposições fundamentais da geometria pura, não contém nada fundado. Ao declarar isso, na maior parte, eles são realmente analíticos, ao mesmo tempo reivindicando para essa representação apenas a proposição fundamental de que a linha reta é a mais curta entre dois pontos. "Meu conceito de certo, precisamente, não conteria nada sobre magnitude, mas apenas uma qualidade; então, o conceito do que menor seria, portanto, inteiramente um agregado e não poderia ser extraído do conceito de linha reta por meio de sem decomposição; portanto, a intuição deve ser usada aqui como uma ajuda, para a qual só a síntese é possível ". Mas aqui também não é um conceito do que é certo geral, mas da linha reta, e isso já é algo espacial, intuitivo. A determinação (ou, se preferes, o conceito) da linha reta é, no entanto, nada mais do que isso: de ser a linha absolutamente simples, vale dizer que em sua saída-de-si mesma (o chamado movimento pontual) refere-se absolutamente a mesma, e em sua extensão nenhuma espécie de diversidade de determinação é encontrada, referência a outro ponto ou outra linha [localizada] fora dela - é a direção absolutamente simples sem essa simplicidade, sem dúvida, é sua qualidade; e se a linha reta tem que parecer difícil de definir analiticamente, isso acontece apenas por causa da determinação da simplicidade ou relação consigo mesmo, e puramente porque o reflexo tem antes, na determinação de determinar, primeiro e essencialmente uma pluralidade, um para determinar por meio de outro. Mas por si só não é absolutamente difícil entender isso determinação da simplicidade da extensão em si e sua falta de determinação por meio de outra. - A definição de Euclides não contém nada além desta simplicidade. -Mas agora a transferência dessa qualidade uma determinação quantitativa (da qual é a mais curta) que deve constituir o elemento sintético, é absoluta e somente analítica. A linha, como espacial, é quantidade em geral; a coisa mais simples se é afirmado sobre o quanto, é o mínimo, e se é afirmado sobre a linha, é o mais curto. Geometria pode aceitar estas determinações como corolários da definição; mas Arquimedes em seus livros sobre a esfera e o cilindro (ver tradução de Hauber, página 4) agiu da maneira mais oportuna ao afirmar que a determinação da linha reta como um axioma, em um sentido tão exato quanto [fez] Euclides em enunciar a determinação em relação aos paralelos entre os axiomas, porque o desenvolvimento desta determinação, a fim de transformá-lo em um definição, exigiria também determinações não pertinentes imediatamente ao espacialidade, mas mais abstratamente qualitativa, como simplicidade, igualdade de direção e outras mais. Esses antigos também deram às suas ciências um caráter plástico e mantiveram sua exposição severamente nos limites das propriedades de seu material, excluindo, então, o que teria sido espécies heterogêneas para eles. O conceito que Kant estabeleceu nos julgamentos sintéticos a priori - este é o conceito diferente, que ao mesmo tempo é inseparável; de um idêntico que em si é diferença inseparável - pertence ao aspecto grande e imortal de sua filosofia. Este conceito certamente está presente também na intuição, porque é o conceito em si e tudo em si é conceito; mas as determinações que são extraídas nesses exemplos não expõem isso. Em vez disso, o número e a numeração são uma identidade e a produção de uma identidade, que é absoluta apenas uma síntese externa - síntese superficial, unidade de alguns; alguns tais que são mais bem como não idênticos em si mesmos, mas extrínsecos e separados por si mesmos. Na linha reta deve basear-se na determinação de que é o mais curto entre dois pontos, pelo contrário, deve ser como base apenas o momento do resumo idêntico, sem distinção em si mesmo.
Volto agora desta digressão para o mesmo adicionar. A operação negativa correspondente a este, o subtrair, é a separação, em igual e totalmente analítico, os números que, como no adicionar, eles são determinados apenas como desiguais em geral um contra o outro.
2. A próxima determinação é a igualdade dos números que devem ser numerados. Através deste igualdade são uma unidade, e com isso a diferença entre a unidade e o valor entra no número. O multiplicação é a tarefa de numerar junto um número de unidades que são elas próprias·quantidade Nisto é indiferente qual dos dois números é declarado como uma unidade e qual como uma quantidade, e que digamos quatro vezes três, onde quatro são a quantidade e três a unidade, ou vice-versa três vezes quatro, - Tem sido já declarado acima que a conclusão original do produto foi feita por simples numeração, vale a pena mencionar os dedos, etc.; a capacidade subsequente de indicar imediatamente o produto encontra-se na coleção desses produtos, que é o ábaco [multiplicação ou tabela pitagórica] e em conhecê-lo memoria.
A divisão é a operação negativa de acordo com a mesma determinação da diferença. É da mesma forma indiferente qual dos dois fatores, o divisor ou o quociente, é determinado como uma unidade ou como quantidade O divisor é determinado como uma unidade e o quociente como uma quantidade, quando a tarefa da divisão é expressa [no sentido de] que tu queres ver quantas vezes (quantidade) um número (unidade) é contido em um determinado número; vice-versa, o divisor é considerado como quantidade e o quociente como unidade, quando tu dizes que deve dividir um número em certo número de partes iguais e encontrar o magnitude de tal parte (da unidade).
3. Os dois números determinados de frente para o outro como uma unidade e quantidade, são como números ainda de modo imediato. Um contra o outro e, portanto, eles são geralmente desiguais. Mais igualdade é a da unidade e a quantia em si; assim, o progresso em direção à igualdade das determinações que estão na determinação do número. A numeração de acordo com essa igualdade perfeita é a elevação das potências (a operação negativa é a extração de raiz) e acima de tudo, a elevação de um número ao quadrado. - A elevação à potência é o ser perfeito de se numerar onde 1) os muitos números que são adicionados são os mesmos, e 2) sua multiplicidade ou quantidade é idêntica ao número encontrado colocar muitas vezes, e isso é unidade. Por outro lado, não há determinação no conceito de número, que possa oferecer uma diferença; nem uma equalização adicional da diferença pode ser feita que esteja no número. A elevação para poderes maiores que o quadrado é uma continuação formal; em parte nos pares de expoentes é apenas uma repetição do quadrado; em parte - em potencias estranhas - a desigualdade entra novamente. Em igualdade formal, precisamente (por exemplo, no cubo, antes de tudo), do novo fator com a quantidade e a unidade, este [novo fator] é 3) desigual como uma unidade em relação à quantidade (isto é, por exemplo, o quadrado de 3 vezes 3), e ainda mais no cubo de quatro, onde a quantidade, 3, de acordo com o qual o número que representa a unidade deve ser multiplicado por si só, é diferente deste mesmo número [4]. -Essas determinações são apresentadas como a diferença essencial do conceito, a quantidade e a unidade, que tem que ser correspondido para o retorno completo em si do ir-fora-de-si. No recém exposto é também a razão pela qual, por um lado, a resolução das equações superiores deve consistir na redução para a equação quadrática, por outro lado, a razão pela qual as equações de expoentes ímpares se determinam apenas formalmente, e precisamente quando as raízes são racionais, eles não podem ser encontrados em outro lugar de modo que, por meio de uma expressão imaginária, vale a pena dizer, ao contrário do que são e expressar essas raízes. O quadrado da aritmética contém, de acordo com o exposto, apenas o ser absoluto determinado em si mesmo, para o qual as equações com outros poderes formais devem ser reduzidas a essa, assim como o triângulo retângulo na geometria contém o absoluto ser determinado em si mesmo, expostos no teorema de Pitágoras, razão pela qual todas as outras figuras também devem ser reduzidas a esta formas geométricas para sua determinação total. Um ensinamento, procedendo de acordo com um julgamento logicamente formado, lida com a doutrina dos poderes antes a doutrina sobre proporções; Estes, sem dúvida, estão ligados à diferença de unidade e quantidade que constitui a determinação da segunda operação, mas saem da do quantum imediato, onde unidade e quantidade são apenas momentos; a determinação subsequente após permanecer extrínseca à mesma. O número no relacionamento nada mais é do que um quantum imediato; tem, então, sua determinação como mediação; mas o relacionamento qualitativo será considerado mais tarde. Sobre a determinação das operações acima mencionada, pode-se dizer que não é de nenhuma maneira uma filosofia sobre estes, ou de alguma forma uma exposição do seu significado interior, por causa de fato não é um desenvolvimento imanente do conceito. Mas a filosofia deve saber distinguir o que de acordo com o seu própria natureza é uma questão extrínseca a si mesma, para que mais tarde o progresso do conceito possa em tal objeto a ser realizado apenas extrinsecamente, e seus momentos também podem ser apenas na forma próprio à sua exterioridade, como aqui a igualdade e a desigualdade. É um requisito essencial para filosofar sobre objetos reais a distinção das esferas em que certa forma do conceito, isto é, onde é apresentado como uma existência, a fim de não perturbar as ideias através de extrínseca e acidental em sua peculiaridade, e também para não distorcer e tornar essas ideias formais através da incongruência da matéria. Mas essa exterioridade, onde os momentos de concepção aparecem nessa matéria externa que é o número, aqui está o formulário apropriado. Como estes [momentos] apresentam o objeto em seu caráter intelectual, e como, ao mesmo tempo, não contêm pretensão especulativo e, portanto, parecem fáceis, merecem ser usados em tratados elementares.
Sabe-se que Pitágoras expôs relações racionais ou filosofemas em números; também na época moderna se fez uso deles e das formas de seus relacionamentos, tais como potências, etc. na filosofia, a fim de ordenar de acordo com todos esses pensamentos ou expressá-los por esse meio. No respeito pedagógico o número foi considerado como o objeto mais apropriado da intuição interior e a tarefa de calcular as relações numéricas [foi considerada] como a atividade do espírito onde este leva à intuição suas relações mais próprias e em geral as relações fundamentais da essência. Até que ponto possa competir ao número este alto valor, se depreende de seu conceito, tal como foi apresentado.
Vimos o número como determinação absoluta da quantidade, e seu elemento como diferença convertida em indiferente - que é a determinação em si, posta ao mesmo tempo plenamente somente como extrínseca. A aritmética é ciência analítica, porque todas as conexões e diferenças que se apresentam no seu objeto, não estão neste, mas lhe são sobrepostas de uma maneira totalmente exterior. Ela não tem nenhum objeto concreto que contenha em si relações interiores, que em um primeiro tempo estejam ocultas para o saber, não dadas na representação imediata de tal objeto, e que tenham que sair à luz somente mediante o trabalho do conhecer. Não somente não contem o conceito e com este a tarefa para o pensar conceitual, senão que é o oposto deste. Devido à indiferença do vinculado com respeito à vinculação, a qual carece de necessidade, se encontra o pensar aqui em uma atividade que é por sua vez a exteriorização extrema dele mesmo, isto é, na atividade violenta do mover-se na carência de pensamento e do vincular o que não é capaz de nenhuma necessidade. O objeto é o pensamento abstrato da exterioridade mesma. Enquanto é este pensamento da exterioridade, o número também é a abstração da multiplicidade sensível; não conservou do sensível nada além da determinação abstrata da exterioridade mesma. Por este meio o sensível se acha levado nele até a máxima proximidade do pensamento; ele representa o pensamento puro da exteriorização própria do pensamento. Portanto pode acontecer ao espírito que se eleve acima do mundo sensível e conheça sua essência, que ao buscar um elemento para sua pura representação e para a expressão de sua essência, caia - antes de conceber o pensamento mesmo como tal elemento e de alcançar para sua exposição à pura expressão espiritual— na situação de eleger o número, esta interna e abstrata exterioridade. Por isso vemos na historia da ciência que muito cedo é utilizado o número para a expressão de filosofemas. O número constitui o último grau da imperfeição, que concebe o universal como afetado pelo sensível. Os antigos tinham a consciência determinada de que o número está no meio entre o sensível e o pensamento. Aristóteles refere sobre Platão (Metaf., I, 5) que disse que ademais do sensível e das ideias estão por meio das determinações matemáticas das coisas, diferentes do sensível por isto, que são invisíveis (eternamente), imóveis, porém diferentes das ideias devido a que são um múltiplo e semelhante, e por outro lado a ideia é absolutamente somente idêntica consigo e una em si. — Uma reflexão mais ampla profundamente pensada sobre o assunto por Moderado(1) de Cadiz se acha citada na Mal-Chi Vita Phitagorae, (ed. Ritterhus, pág. 30 e segt.). O que os pitagóricos hajam ficado no número o atribui ao fato de que não puderam, entretanto conceber as ideias fundamentais e os primeiros princípios claramente na razão, porque estes são difíceis de pensar e difíceis de exprimir; os números servem muito bem no ensino como senha; e eles [os pitagóricos] imitaram nisto, entre outras coisas, aos geómetras, que não podem exprimir o corpóreo nos pensamentos e utilizam as figuras e dizem que este é um triângulo; entretanto não querem dizer com isto que o desenho que fica sob seus olhos tenha que ser tomado por um triângulo, mas que somente tem que representar-se com ele o pensamento do triângulo. Deste modo os pitagóricos exprimiram como uno, etc., o pensamento da unidade, da monotonia e da igualdade e o principio da coincidência, da conexão e da conservação de tudo, assim como do idêntico consigo mesmo. — É supérfluo assinalar que os pitagóricos, a partir da expressão dos números, passaram também à do pensamento, às categorias expressas do igual e o desigual, do término e do infinito. Acha-se referido já com relação àquelas expressões numéricas (Ibíd., na nota da pág. 31 1. s., tomado de uma vida de Pitágoras em Photius, pág. 722) que os pitagóricos distinguiram entre a mônada e o Uno; e consideraram a mônada como o pensamento, entretanto o uno como o número; e igualmente o dois como o [número] aritmético, a díada (pois assim deve chama-la no mesmo lugar) como o pensamento do indeterminado. —Estes antigos compreenderam pela primeira vez muito exatamente a insuficiência das formas numéricas para as determinações do pensamento; e com igual direito exigiram em lugar daquele primeiro expediente, a expressão própria para os pensamentos. Quanto mais longe haviam ido eles, em suas meditações, que os que hoje em dia consideram como algo merecedor de elogio, e ainda mais fundamentado e profundo o por de novo no lugar das determinações do pensamento os números e as determinações numéricas como as potencias, e depois o infinitamente grande, o infinitamente pequeno, o uno dividido por ele ao infinito, - e outras determinações semelhantes, a miúdo também elas mesmas um formalismo matemático absurdo, e voltam desse modo para aquela infância impotente.
Há pouco se referiu à expressão de que o número está entre o sensível e o pensamento enquanto tem ao mesmo tempo [o caráter] daquele, de ser em si o múltiplo, o reciprocamente extrínseco, preciso é observar que este múltiplo, isto é, o sensível acolhido no pensamento, representa a categoria, pertencente a este, do extrínseco em si. Os pensamentos posteriores, concretos verdadeiros, o mais vivo, o mais móvel, concebido somente na relação, ao ser transposto neste elemento do ser-fora-de-si, se convertem em determinações mortas, carentes de movimento. Quanto mais os pensamentos se tornam ricos em determinações e por isso em relações, tanto mais sua exposição em tais formas como os números se fazem intrincadas por um lado e arbitrária e vazia de sentido pelo outro. O um, o dois, o três, o quatro, a henada ou mônada, díada, tríada, quaternidade (tetraktys), permanecen ainda próximos a conceitos totalmente simples e abstratos; porém quando os números têm de passar por relações concretas, é inútil então querer mantê-los próximos dos conceitos. Pois bem, se as determinações do pensamento se designam por meio de um, dois, três, quatro para o movimento do conceito, como para aquilo por cujo meio somente este é conceito, então isto é o mais difícil que se possa exigir do pensamento. Este se move [assim] no elemento de seu contrario, a carência de relação; sua obra é o trabalho da loucura. O conceber, que por exemplo um é três e três é um, é esta difícil exigência pelo fato de que o um carece , de relação, de modo que não mostra em si a determinação pela qual atravessa seu oposto, senão que é antes o seguinte: o excluir e repudiar absolutamente tal relação. Pelo contrário é isto o que utiliza o intelecto contra a verdade especulativa (por exemplo contra aquela depositada na doutrina chamada da tri-unidade), e numera as determinações dele que constituem una única unidade a fim de mostra-las como um manifesto em sentido oposto, isto é, o penetra próprio o sentido oposto consiste em converter em carente de relação o que é absolutamente relação. O nome de tri-unidade [ou unitrinidade] no leva em conta por certo que o uno e o número teriam sido considerados pelo intelecto como a determinação essencial do conteúdo. Aquele nome expressa o menosprezo contra o intelecto, o qual, no entanto, manteve firme e contra a razão sua vaidade de se aderir ao uno e ao número como tais.
O tomar os números e as figuras geométricas como puros símbolos, tal como se fez amiúde com o círculo, o triângulo, etc. —por exemplo o círculo da eternidade, o triângulo da tri-unidade— é, por um lado, algo inocente; no entanto por outro, é loucura supor que por este meio se exprima mais do que possa conceber e exprimir o pensamento. Se em tais símbolos tivesse que estar uma sabedoria profunda, um profundo significado, como ocorre também naqueles outros criados pela fantasia nas mitologias dos povos e na poesia em geral —frente aos quais as figuras geométricas, carentes de fantasia, são ademais misérias-- então preciso é que se exija precisamente do pensamento que faça somente o seguinte: tirar à luz da sabedoria que está somente ali, dentro, e não somente nos símbolos, mas na natureza e no espirito. Nos símbolos a verdade está ainda turva e oculta pelo elemento sensível; e se torna perfeitamente manifesta à consciência somente na forma do pensamento; o significado é somente o pensamento.
Entretanto o tomar aqui as categorias matemáticas a fim de querer determinar a partir delas, algo para o método ou o conteúdo da ciência filosófica, se mostra essencialmente como algo absurdo por este motivo, que se as fórmulas matemáticas significam pensamentos e diferenças de conceito, este seu significado tem bem antes que ser declarado, determinado e justificado primeiramente na filosofia. Em suas ciências concretas esta deve tomar o elemento lógico da lógica, não da matemática; e pode ser tão somente um expediente da impotência filosófica recorrer para [obter] o elemento lógico da filosofia às configurações que este elemento lógico toma em outras ciências, e que em grande parte são somente pressentimentos e em outra parte também deformações. A simples aplicação destas fórmulas tomadas de empréstimo é ademais um procedimento extrínseco; à aplicação teria que preceder uma consciência tanto sobre seu valor como seu significado. Porém uma consciência tal pode dá-la somente na consideração pensante, não a autoridade destas [fórmulas] procedentes da matemática. Tal consciência sobre elas é a lógica; e esta consciência as despoja de sua forma particular, volta a esta supérflua e inútil; estabelece os direitos das fórmulas e é a única que lhes proporciona legitimidade, sentido e valor.
Pelo que se refere ao uso do número e do calcular, para que constitua um fundamento pedagógico principal, ocorre evidente do que se disse até agora. O número é um objeto espiritual, e o ocupar-se dele e de suas relações é uma ocupação espiritual; o espírito se acha, pois, estimulado por esta via para a reflexão em si e [para] um trabalho interior abstrato, que tem uma grande importância, e contudo é unilateral. Porque, por outro lado, dado que na base do número está somente a diferença exterior, carente de pensamento, aquela ocupação se torna carente de pensamento e mecânica. O esforço consiste especialmente no seguinte: manter firme o carente de conceito e combina-lo com um modo carente de conceito. O conteúdo é o uno vazio; o conteúdo sólido da vida moral e espiritual e das configurações individuais desta, com que a educação deve criar ao espírito juvenil como com o alimento mais nobre, deveria ser expulso pelo uno carente de conteúdo. O efeito —quando aqueles exercícios sejam convertidos no ponto capital e na ocupação principal— não pode ser outro que o de esvaziar o espírito de forma e conteúdo e torna-lo obtuso. Posto que o calcular é assunto tão exterior e por isso mecânico, se puderam fabricar maquinas que cumpram as operações aritméticas da maneira mais perfeita. Mesmo quando se conhecesse somente esta circunstancia sobre a natureza do calcular, já estaria ali a decisão de que seria necessário pensar, sobre a ideia de converter o cálculo no meio fundamental da educação do espírito e de por este na tortura de aperfeiçoar-se se transformando em máquina.
1. O quanto tem, como mostrado acima, a sua determinação como um termo no valor. É um descontínuo em si, um múltiplo que não tem um ser diferente do seu termo e que tem isto fora de si. O quanto, desse modo, com seu termo, que é em si mesmo um múltiplo, é uma magnitude extensiva.
Devemos distinguir a magnitude extensiva do contínuo; contra isso é diretamente a magnitude descontínua, mas intensiva. Extensiva e intensiva magnitude são determinações do termo quantitativo mesmo, mas o quanto é idêntico ao seu termo; em vez disso, a magnitude contínua e descontínua são determinações da magnitude em si, isto é, da quantidade como tal, uma vez que no quanto se faz abstração do termo. – A magnitude extensiva tem o momento de continuidade em si e em seu termo, enquanto múltiplo é geralmente um continuo; o termo como negação aparece, portanto, nessa igualdade de múltiplos como limitação da unidade. A magnitude contínua é a quantidade que prossegue sem ter em conta um termo, e na medida em que é representado por tal termo, é uma limitação em geral, sem descontinuidade. O quanto [considerado] apenas como magnitude contínua, ainda não é verdadeiramente determinada por si mesma, porque tal [magnitude] não tem o um (onde o ser é determinado por si mesmo) e o número. Da mesma forma, a magnitude descontínua é imediatamente apenas um múltiplo diferente em geral, que se assim tivesse um termo, seria apenas um multidão, isto é, terminada de maneira indeterminada. O fato de que pode ser como um quanto determinado exige a reunião dos muitos em um, através do qual eles são colocados como idênticos com o termo. Cada uma das duas, a magnitude contínua e descontínua, como quanto em geral tem posto em si só um dos dois lados, e por seus meios o quanto é completamente determinado e está como um número. Isto é imediatamente um quanto extensivo, é a determinação simples, que está essencialmente como um montante, mas como a quantidade de uma e a mesma unidade; é diferente do número apenas porque neste é expressamente declarado a determinação como multiplicidade.
2. A determinação, no entanto, de quão grande algo é [feito] por meio do número, não precisa da diferença, no que diz respeito à outra coisa grande, de modo que, para a determinação deste grande pertencem a si mesmo e a um grande, já que a determinação da magnitude em geral é um termo determinado por si mesmo, indiferente, simplesmente referido a si mesmo; e no número esta [determinação] é posta como incluída no que existe por si só, e tem a exterioridade, a referência a outro no dentro de si. Além disso, este múltiplo do próprio termo é como o múltiplo em geral, não um desigual em si, mas um continuum; cada um dos múltiplos é o que o outro é. Como múltiplo mutuamente extrínseco, ou seja, descontínuo, portanto, não constitui a determinação como tal. Este múltiplo cai, portanto, por si mesmo em sua continuidade, e se torna uma unidade simples. O quanto é apenas um momento do número, mas não constitui, como uma pluralidade de uns numéricos, a determinação do número; mas que estes, na medida em que são indiferentes, extrínsecos a si mesmos, são superados no retorno efetuado número em si; a exterioridade, que constituía os uns da multiplicidade, desaparece-nos uns como relação do número para si mesmo. O termo do quanto, que, por ser extensivo, teve sua determinação existente como um valor externo para si mesmo, portanto, vai além de uma simples determinação. Nesta simples determinação, o termo é uma magnitude intensiva; e o termo, isto é, a determinação que é idêntica ao quanto, é agora do mesmo modo posta como um simples - é o grau. O grau é, portanto, certa magnitude, um quanto, mas não é ao mesmo tempo uma multidão é mais uns dentro de si; é apenas uma pluralidade; e pluralidade é o plural reunido em um determinação simples, a existência que retornou ao ser-para-si. Sua determinação deve ser indubitavelmente expressa por um número, como aquele do perfeito ser-determinado do quanto, mas não é como um quantidade, mas é simples, apenas um grau. Quando se fala de 10, 20 graus, a quantidade que tem tantos graus no décimo ou vigésimo grau, não é a quantidade e a soma deles. Desta forma, seria um grau extensivo, no entanto, é apenas um único grau, o décimo ou o vigésimo grau. Ele contém a determinação que está no valor de dez ou vinte, mas não o contém como um plural, mas é o número como uma quantia superada, como uma simples determinação.
3. No número, o quanto é posto em sua perfeita determinação; mas o quanto intensivo, que é como no ser-para-si do primeiro, é posto de acordo com seu conceito ou em si mesmo. Precisamente a forma da referência a si mesma, que o quanto no grau, é ao mesmo tempo o ser-fora-de-si o mesmo. O número, como quanto extensivo, é multiplicidade numérica e assim tem a exterioridade em seu interior. Esta, como um múltiplo em geral, cai em indistinção e é superada no uno do número, que é a sua relacão consigo mesmo. Mas o quanto tem sua determinação como uma quantia; contém, como mostrado anteriormente, embora não seja mais colocado nele. Portanto, o grau que, sendo simples em si já não tem em si este ser-outro fora, ele o tem fora de si mesmo, e refere-se a ele quanto à sua determinação. Uma multiplicidade extrínseca para ele constitui a determinação do termo simples que ele é para si mesmo. Aquele que a quantidade, embora deva ter sido dentro do número no quanto extensivo, foi superado de lá, determina desta maneira no sentido de que é colocado fora dela. Por causa do número sendo como um, isto é, como uma referência refletida a si mesma, exclui a indiferença e valor da quantia e é referência a si mesma como referência a um extrínseco por meio de si só.
Nisto tem o quanto a realidade de acordo com o seu conceito. A indiferença da determinação constitui sua qualidade, isto é, a determinação que é em si mesma como a determinação externa a si mesma. Em conseqüência, o grau é uma simples determinação de magnitude entre uma pluralidade de tais intensidades, que são diferentes e cada um é apenas uma simples referência a si mesmo; mas ao mesmo tempo eles estão em um relacionamento essencial entre eles, para que cada um tenha sua determinação nesta continuidade com os demais. Esta referência do grau por meio de si mesmo ao seu outro, torna-se quando subindo e descendo na escala dos graus em um progresso constante, um fluxo que é uma mutação ininterrupta e indivisível.Cada um dos muitos que eles são distinguidos lá, não são separados de outros, mas o ser deles é determinado somente neles. Como determinação de magnitude que se refere a si mesma, cada um dos graus é indiferente em relação aos demais; mas também é referido em si mesmo essa exterioridade, e somente através dela é o que é. Sua referência a si é, em conjunto, a referência que não é indiferente ao exterior, e nisso tem sua qualidade.
O grau não é em si um exterior de si. No entanto, não é o indeterminado, princípio do número em geral, que não tem que ser um montante, mas apenas o montante, negativo, isto é, nenhuma quantia A magnitude intensiva é antes de uma simples entre muitas; existe uma pluralidade de graus; mas eles não são determinados, nem como um simples, nem como muitos, mas apenas na relação deste ser-de-fora-de-si ou na identidade do um e da pluralidade. Portanto, se os muitos como tal são encontrados sem dúvida, pelo simples grau, a determinação disso consiste em sua referência a eles; portanto,o grau contém o montante. Como vinte, como uma magnitude extensiva, contém em si os vinte alguns como descontínua, de modo que o grau determinado as contém como continuidade, que é simplesmente determinada pluralidade; é o vigésimo grau, e é o vigésimo grau somente por meio desse montante, que, como tal, está fora dele.
A determinação da magnitude intensiva deve, portanto, ser considerada em um duplo aspecto. Ela está determinado por meio de outros quanta intensivos e está em continuidade com o seu ser-outro, de modo que tal referência a ele consiste em sua determinação. Agora, porque a simples determinação está em primeiro lugar, é determinado contra outros graus; exclui-os de si mesmo e tem sua determinação neste excluir. Mas em segundo lugar, é determinado em si mesmo; e está em tal condição no montante como em sua quantidade, não neste como excluído, ou seja, não a quantidade de outras notas. O vigésimo grau contém os vinte em si; não só é determinado como diferente do décimo nono, do vigésimo primeiro, etc., mas sua determinação é o seu valor. Mas desde que a quantidade é sua - e a determinação é essencialmente tanto quanto quantidade, o grau é uma quantidade extensa. Extensa e intensiva magnitude, então, é uma e a mesma determinação do quanto. São diferentes apenas pela razão de que um tem a quantidade, e o outro tem a mesma coisa, a quantidade, como se fosse fora dele. A magnitude extensiva vai além da magnitude intensiva porque seu múltiplo cai sobre si mesmo e por si mesmo na unidade, de onde vem o múltiplo. Mas, inversamente, este simples tem sua determinação apenas na quantidade e pelo caminho [no valor] como o seu; como sem importância em relação às outras intensidades determinadas, ele tem a exterioridade da quantidade em si mesmo; e assim a magnitude intensiva é igual e essencialmente magnitude extensiva. Com essa identidade vem o algo qualitativo, porque essa identidade é uma unidade que se refere a si mesma através da negação de suas diferenças; mas essas diferenças são as determinações de magnitude existente. Essa identidade negativa, então, é algo e, sem dúvida, o que é indiferente em relação a sua determinação quantitativa. Algo é um quanto; mas agora a existência qualitativa, como é em si, é contra tão indiferente. Poderia falar sobre o quanto, o número como tal, etc, sem [falar sobre] algo que foi o substrato deles. Mas agora o algo contra estas determinações é apresentado seu, mediado por meio da negação deles, como existente por si e, por ter um quanto, como o mesmo, que tem um quanto extensivo e intensivo. Sua única determinação, que tem quanto, é colocado nos diferentes momentos da unidade e a quantidade; não só ela está sozinha e igual, mas que ele se colocando nessas diferenças como extensivo e intensivo é o seu retorno a esta unidade, que, em negativo, é algo colocado contra eles indiferentemente.
Na representação usual o quanto extensivo e o intensivo como espécie de magnitudes, como se houvesse objetos que tivessem apenas a magnitude intensiva e outros que tivessem apenas extensivo, então veio a representação de uma ciência filosófica da natureza e transformou a pluralidade, que é extensiva - por exemplo, na determinação do assunto que consiste em preencher um espaço, e também em outros conceitos - em um intensivo, no sentido de que o intensivo, porque é o dinámico, é a verdadeira determinação. E, por exemplo, seria preciso conceber essencialmente a densidade, que é o recheio específico do espaço, não como certa multidão e quantidade de partes materiais em um quanto de espaço, mas como certo grau de força que preenche o espaço da matéria.
A este respeito, as determinações de duas espécies devem ser distinguidas. No que tem sido chamado de transformação da doutrina mecânica na dinâmica, o conceito de partes independentes que subsistem um fora do outro e que apenas externamente eles estão ligados em um todo, e o conceito de força, diferente do outro. O que no preenchimento do espaço é considerado, por um lado, apenas como uma multiplicidade de átomos recíprocos extrínsecos, é por outro lado considerado como a extrínseca de uma força Simples que está na base de tudo. Essas relações entre o todo e as partes, a força e sua extrínseca, que aqui eles estão em oposição recíproca, eles não pertencem ainda a este ponto, mas eles terão que ser tratado mais tarde. Pode, no entanto, ser lembrado imediatamente que a relação entre força e manifestação, que corresponde ao aspecto intensivo, é indubitavelmente, antes de tudo, a relação mais verdadeira contra a relação entre o todo e as partes, mas isso não é a menor força unilateral, como aspecto intensivo e que a manifestação, que é a externalidade do extensivo, é igualmente inseparável da força, de modo que há também em ambas as formas, intensivo e extensivo, um único e mesmo conteúdo.
A outra determinação apresentada aqui é quantitativa como tal, que é eliminada tanto quanto extensa e transformada no grau como na determinação que deve ser a verdadeira. Mas tem mostrado que este [grau] também contém a primeira [determinação], de modo que uma forma é essencial para o outro, e com isso cada existência mostra sua determinação de magnitude, ao mesmo tempo quão extensivo e quão intensivo.
Como exemplo disso, qualquer coisa pode ser útil, desde que apareça em uma determinação de magnitude. Até mesmo o número tem necessariamente essa forma dupla. É uma quantia, por ser um magnitude extensiva; mas também são um, um dez, cem, assim que está prestes a ser transferidoparaumamagnitude intensiva, em que nesta unidade o múltiplo é coletado de forma simples. Um é uma magnitude extensiva em si; pode ser representado como uma arbitragem - a quantidade de partes. Então o décimo, o centésimo é este simples, intensivo, que tem sua determinação no múltiplo que fica fora dele, isto é, em que extenso. O número é dez, cem e ao mesmo tempo, no sistema numérico, é o décimo, o centésimo; ambos é a mesma determinação. No círculo, um é chamado de grau, já que a parte do círculo tem essencialmente sua determinação na pluralidade fora dela e é determinada apenas como uma quantidade fechada de tais. O grau de um círculo, como pura magnitude espacial, é apenas um número comum; considerado como um grau, é a magnitude intensiva, que tem um significado apenas como determinado pela quantidade de graus no que o círculo é dividido, assim como o número em geral tem seu significado apenas na série de números.
A magnitude de um objeto mais concreto manifesta seu duplo aspecto, de ser extensivo e intensivo, na dupla determinação de sua existência; em um dos quais aparece como um objeto externo, no outro em mudar, como um interno. Assim, por exemplo, uma massa é como o peso de uma magnitude extensiva, tanto constitui uma quantidade de libras, centenas de libras, etc., e é uma magnitude intensiva, desde que exerça certa pressão; a magnitude da pressão é simples, um gráfico que tem sua determinação em uma escala de graus de pressão. Ao exercer pressão, a massa aparece como um ser em si, como um sujeito que é a diferença intensiva de magnitude. Por outro lado, o que exerce esse grau de pressão é capaz de mover do seu lugar certa quantidade de libras, etc., e nesta medida sua magnitude. Ou o calor tem um grau; o grau de calor, sejam 100, 200, etc., são uma sensação simples, algo subjetivo. Mas este grau também é apresentado como uma magnitude extensiva, como a dilatação de umlíquido, do mercúrio no termômetro, do ar, ou bem de argila, etc. Um grau de temperatura mais alta é expressa como uma coluna mercurial mais longa ou como um cilindro de argila mais estreita; aquece um espaço maior da mesma forma que um grau inferior aquece apenas um espaço menor.
O tom mais alto por ser mais intensivo é ao mesmo tempo um maior número de vibrações, ou um tom mais forte, ao qual um grau mais alto é atribuído, é ouvido em um espaço maior. Com mais uma cor intensa, uma superfície maior que uma cor mais fraca pode ser colorida da mesma maneira; ou a cor mais clara [representando] outra espécie de intensidade, é mais visível de longe que a menos clara, etc.
Da mesma forma, na esfera espiritual, a alta intensidade de caráter, de talento, de gênio é [adequada] a uma existência que também exerce uma ação mais ampla, tem maior eficiência e é mais multilateral entre em contato. O conceito mais profundo tem o significado e aplicação mais universal.
Kant fez uso particular da aplicação da determinação do quanto intensivo a uma metapfísica da alma. Na crítica das proposições metafísicas sobre a alma, que ele chama de paralogismos da razão pura, ele passa a considerar o silogismo que deduz da simplicidade da alma a sua permanência. Contra esse silogismo objeto Kant (Crítica da razão pura, página 414) "que, embora admitamos essa natureza simples da alma, porque precisamente não contém quaisquer variedades extrinsecamente mutuamente e, portanto, não extensiva magnitude, no entanto, não poderia ser negado a ela como a qualquer existente ser uma magnitude intensiva, isto é, um grau de realidade em relação a todas as suas faculdades, em relação a tudo o que em geral constitui existência; grau que pode diminuir através de todos infinitamente muitos graus menores, e desta forma a substância pretendida, embora não possa ser reduzido a nada por divisão, poderia ser por meio de redução gradual (remissão) de seus pontos fortes porque mesmo a consciência tem um grau a cada momento, que sempre pode ser ainda diminuiu e, consequentemente, também a capacidade de ser autoconsciente, e da mesma formato das outras faculdades." -A alma na psicologia racional, tal como esta metafísica abstrata, não era considerada como espírito, mas apenas como um existente imediato, como uma coisa psíquica.Deste modo Kant tem o direito de aplicar a categoria do quanto "como a qualquer existente", e dado que existente é determinado como simples, também a categoria de quanto intensivo.Para o espírito sem dúvida ser, mas [desde] com uma intensidade totalmente diferente da intensidade do quanto, bem antes de uma intensidade tal que nela a forma de ser é apenas imediata e todas as suas categorias são como superadas. Não deve apenas conceder a superação da extensa categoria quantitatva, mas também supera o quanto em geral. Mas ainda é outra coisa saber como eles estão na eterna natureza do espírito, a existência, a consciência, a finitude e como brotam dela, sem tornar-se uma coisa.
A diferença entre o quanto extensivo e o intensivo é indiferente à determinação do quanto como tal. Mas o quanto é em geral a determinação definida como superada, o termo indiferente, a determinação que é do mesmo modo a negação de si mesma. Na extensiva magnitude, essa diferença é desenvolvida, mas a magnitude intensiva é a existência dessa exterioridade que é o quanto dentro de si. Isto é definido como a sua contradição em si, [que consiste em] ser a simples auto-denúncia, que [determinação] é a negação de si mesma, [e consiste em] ter sua determinação não em si, mas em outro como. um quanto é, portanto, de acordo com sua qualidade, colocado em continuidade absoluta com sua exterioridade, com o seu ser-outro. Portanto, não só pode ser superada qualquer determinação de magnitude, não só esta a ser alterada, mas o seguinte é definido: que deve ser alterado. A determinação da magnitude é continua em seu ser-outro de tal maneira que tem seu ser somente nesta continuidade com outro; não é um termo existente, mas que se torna.
Uma é infinita, isto é, a negação que se refere a si mesma e, portanto, é a repulsa de si mesmo em relação a si. O quanto é igualmente infinito, posto como a negatividade que se refere a si mesma; repele-se a si mesmo. Mas é certo, aquele que veio a existir e o termo, portanto, é o repulsa da autodeterminação, não a geração de si mesmo como é a repulsão de um, mas a geração de seu ser-otro; agora é colocado nele como para ir além de si mesmo e se tornar outro. Consiste em aumentar ou diminuir a si mesmo; é a exterioridade da determinação em si.
O quanto deste modo se envia para além de si mesmo; este outro, no qual ele se torna, é antes de tudo um quanto; mas ao mesmo tempo não como um termo existente, mas como um termo que se impõe além de si. O termo que emergiu no momento de sair de si mesmo é, portanto, absolutamente único, um termo tal que é superado por sua vez e enviado para um subsequente, e sucessivamente para infinito.
O quanto é transformado e se torna outro quanto; a subsequente determinação dessa mutação, vale a pena dizer que progride ao infinito, consiste nisso: que o quanto é definido como contradizendo a si. O quanto se torna outro; mas continua em seu ser-outro; o outro, portanto, também é um quanto Mas este é o outro não apenas de um único quanto, mas do próprio quanto, o negativo dele como de um terminado e, portanto, é a sua infinitude, o seu infinito. O quanto é um dever ser; contém o ser determinado por si, e este ser determinado por si mesmo é antes o ser determinado um pelo outro, e inversamente, é o superado sendo determinado um no outro, é uma subsistência indiferente por si só. Finitude e infinito contêm cada um em si um duplo significado e certamente em frente. O quanto é finito em primeiro lugar como terminado em geral; em segundo lugar como remeter para além de si mesmo, como sendo determinado em outro. Mas o seu infinito consiste em primeiro lugar em não ser terminado, e em segundo lugar em ter retornado a si mesmo, e seu ser indiferente em si. Se compararmos esses momentos imediatamente uns com os outros, é evidente que a determinação da finitude do quanto, o envio além de si para outro, onde sua determinação é encontrada, é, ao mesmo tempo, uma determinação do infinito; a negação do termo é a mesma além da determinação, de modo que o quanto nessa negação, que é o infinito, tem sua determinação final. O outro momento do infinito consiste no ser-para-si indiferente com relação ao termo; mas o próprio quanto é terminado de tal forma que é indiferente por si só em frente ao seu termo e, portanto, na frente de outros quantos e seus além. Finitude e infinito (o que deve ser separado dele, isto é, o infinito mau) tem no quanto cada um em si o momento do outro.
Os mesmos qualitativos e quantitativos são mutuamente diferenciados por isto, que no primeiro a oposição de finito e infinito é qualitativa e a transferência do finito para o infinito, isto é, a relação de ambos entre eles é só no próprio, isto é, no seu conceito. A determinação qualitativa é encontrada como imediata e se refere ao ser-outro essencialmente como sendo outro dele; ele não está preparado para ter sua negação, seu outro em si mesmo. A magnitude, pelo contrário, é, como tal, uma determinação superada; está definido para ser desigual e indiferente em relação a si mesmo, portanto, ser mutável. O finito e infinito qualitativo, permanecem, portanto, um diante do outro absolutamente, isto é, abstrato; sua a unidade consiste no relacionamento interno que está em sua fundação; o finito, portanto, continua em seu contrário apenas em si, mas não nele. Ao contrário, o quantitativo finito se refere a si mesmo dentro de seu infinito, onde ele tem sua determinação absoluta. Esta relação de é mostrada acima de tudo no progresso quantitativo-infinito.
O progresso para o infinito é, em geral, a expressão da contradição, e aqui dessa [contradição] contidos por quantitativos finitos ou quantitativos em geral. É a alternância das determinações do que finito e infinito, que tem sido considerado na esfera qualitativa, com a diferença de que, assim como se lembre, no quantitativo, o termo em si é aquele que se refere e continua no seu além, para o qual, para o inverso, também o infinito quantitativo é colocado a ponto de ter quanto em si mesmo; por quanto em seu ser-fora-de-si mesmo, ele é ao mesmo tempo ele mesmo, e sua exterioridade pertence à sua determinação.
Agora, o progresso infinito é apenas a expressão dessa contradição, e não a solução dela; mas por causa da continuidade de uma determinação na outra, a última traz consigo uma solução aparente em uma unificação das duas [determinações]. Como é colocado primeiro este [progresso] é o problema do infinito, não sua conquista: é a geração perpétua dele, sem sair além do quantum e sem que o infinito se torne um positivo e presente. O valor que você tem em seu conceito de ter um além de si mesmo. Este além é em primeiro lugar o momento abstrato de não-ser do quanto; resolve-se; e assim se refere à sua vida após a morte quanto ao seu infinito de acordo com o momento qualitativo da oposição. Mas, em segundo lugar, o quanto está em continuidade com isso mais além; o que consiste precisamente em ser o outro de si mesmo e fora de si; portanto, o exterior não é ao mesmo tempo outro senão quantitativo; o além ou o infinito é, portanto, um quanto. O além se vê assim chamado retorno de seu vôo e o infinito é alcançado. Mas porque este, que se tornou o mais aqui, é por sua vez um quanto, só foi colocado novamente novo termo; ele, assim, também fugiu de si mesmo e, como tal, está além de si mesmo e foi repelido de si mesmo em seu não-ser, em seu além, que se torna perenemente da mesma forma em um quanto, e como tal é rejeitado de si mesmo no futuro. A continuidade do quanto em seu outro engendra a conexão de ambos na expressão de um infinitamente grande ou infinitamente pequeno. Porque ambos ainda têm a determinação de quanto, eles permanecem variáveis, e a determinação absoluta, que seria um ser-para-si, não é, portanto, alcançado. Este ser-de-si de determinação é colocado no infinito duplo, que é contraposto de acordo com o mais e o menor, isto é, no infinitamente grande e infinitamente pequeno. Em cada um deles o que é preservado na oposição que é perpetuado contra sua vida após a morte? Grande, para quando ainda se estende, desaparece na impossibilidade de ser considerado; como se refere a infinito quanto ao seu não-ser, a oposição é qualitativa. Portanto, o quanto ampliado não ganhou nada com respeito ao infinito; isso é antes e depois do não-ser dele. Ou seja, o aumento de quanto não é de forma alguma uma aproximação ao infinito; pela diferença entre o quanto e seu infinito tem essencialmente também o momento de não ser uma diferença quantitativa. Esta é apenas a expressão abreviada da contradição; tem que haver um grande, isto é, um quanto e um infinito, isto é, não quanto. - Da mesma forma, o infinitamente pequeno, tão pequeno, é um quanto, e permanece de um modo absoluto, isto é, qualitativo, muito grande para o infinito e é oposto a este. Em ambas [expressões] permanece a contradição do progresso infinito, que nelas deveria ter encontrado o seu fim. Esse infinito que tem sido constantemente determinado como o além do finito deve ser indicado como o infinito quantitativo ruim. Ela é, assim como o infinito qualitativo ruim, o perpétuo ir e vir de um membro da persistente contradição ao outro, do termo ao seu não-ser, deste [não-ser] de voltar novamente precisamente para o mesmo, isto é, para o termo. No progresso do quantitativo, para o qual prossegue, certamente não é outro abstrato em geral, mas um quanto como diferente; mas permanece do mesmo modo em oposição à sua negação. O progresso, então, não é igualmente um procedimento e ir em frente, mas uma repetição o mesmo e precisamente o mesmo, um colocar, superar e voltar para por e superar, uma impotência do negativo, para qual o que ele supera por meio de sua superação retorna como um contínuo. São dois tão ligados entre eles, que fogem absolutamente; e porque eles fogem, não podem se separar, mas eles estão atados em sua fuga recíproca.
Infinito ruim, especialmente sob a forma de progresso do quantitativo ao infinito - isso continua a superar o termo, que é a impotência de superá-lo e a perpétua recaída - é geralmente considerada como algo sublime e como uma espécie de serviço de Deus, e assim, tem sido considerado na filosofia como algo supremo. Este progresso tem servido muitas vezes por muito tempo discursos que foram admirados como produções sublimes. Mas, na verdade, esta sublimidade moderna torna-se grande não o objeto, que desaparece, mas apenas o sujeito que engole bem quantidades tão grandes. A pobreza desta elevação que permanece subjetiva, e que sobe na escala do quantitativo, por si só se manifesta pela confissão de que em seu trabalho inútil não vai aproximando-se do seu fim infinito, que a ser alcançado deve, a propósito, ser enfrentado de outra forma totalmente diferente.
Nos seguintes longos discursos deste tipo, ele expressa tanto o que ele passa quanto termina elevação similar. Kant, por exemplo, afirma como sublime (Crítica da razão prática, conclusão):
"Quando o sujeito com o pensamento se eleva acima do lugar que ele ocupa no mundo sensível e expande sua conexão para o infinitamente grande, uma conexão com estrelas sobre estrelas, com mundos em mundos, sistemas em sistemas, e também ainda nos tempos infinitos de seus movimentos diários, seu início e progresso.”.
“A capacidade de representar sucumbe a esse progresso em direção ao imensamente distante, onde o mundo mais distante sempre tem outro ainda, e o passado, levado de volta tão remotamente, tem ainda mais um controle remoto por trás dele, e o futuro, prolongado ainda tão distante, ele ainda tem outro antes dele. O pensamento sucumbe a esta representação do imenso; como o Loose em que se avança um longo caminho cada vez mais longe, onde você perde a visão, sem ver um fim, termina com a queda ou com o vertigem.” Esta representação, além de resumir o conteúdo da elevação quantitativa em uma riqueza pictórica, tem seu mérito especialmente na veracidade com a qual se manifesta como tal elevação chega ao fim: o pensamento sucumbe, o fim é a queda e a vertigem. O que faz o pensamento sucumbir e produz o seu cair e sua vertigem, nada mais é do que o tédio da repetição que faz desaparecer um termo e novamente aparecem e desaparecem novamente, e assim sempre [surge] e perece aquele para o outro e um dentro do outro, o outro do outro lado, o outro do outro lado perpetuamente; e só dá o sentimento da impotência deste infinito ou deste deve ser, quem quer se tornar o dono de para o finito e não pode além disso, o que Kant chamou de descrição chocante de Haller do infinito é muitas vezes visto especialmente admirado, mas muitas vezes não por causa desse aspecto que constitui o verdadeiro mérito dele:
Eu acumulo números enormes de milhões de montanhas, Eu coloquei o tempo e o mundo no mundo [em pilhas], e quando da altura terrível com a vertigem eu olho para ti, todo o poder do número, aumentou milhares de vezes, Ainda não é uma parte de ti. Eu deixo de lado, e tu estás em tudo diante de mim.
Se tu colocares o valor [desses versos] nessa carga e acumular números e mundos como se fosse uma descrição da eternidade é ignorar o fato de que o mesmo poeta declara que esta chamada “chocar para ir além" é algo inútil e vã, e conclui, portanto, que apenas o superando deste infinito progresso vazio vem a ser apresentado a ele o verdadeiro infinito em si.
Havia astrônomos que gostavam de se gabar do caráter sublime de sua ciência por causa do fato de ter a ver com uma enorme multidão de estrelas, com espaços e tempos tão fora de proporção, que distâncias e períodos, tão grandes já por si mesmos, servem neles como unidades que, no entanto, quanto tantas vezes, eles encolhem para a insignificância. O espanto estúpido para o qual eles se abandonam lá, as esperanças estúpidas de viajar primeiro naquela vida de uma estrela para outra e continuar adquirindo ao infinito novos conhecimentos semelhantes, foram apresentados por eles como um momento capital da excelência de sua ciência - o que é maravilhoso não por causa de tal infinito quantitativo, mas, ao contrário, às relações de medida e leis, que a razão reconhece nesses objetos, e que constituem o infinito racional contra esse infinito irracional. Contra o infinito que se refere ao externo, intuição sensível, Kant se opõe ao outro infinito, quando "o indivíduo retorna ao seu invisível e opõe-se a absoluta liberdade de sua vontade como um eu puro para todos os terrores do destino e de tirania, e começando com seus bairros mais próximos, o desaparecimento para si, e igualmente a desmoronar em pedaços o que parecem duradouro, mundos e mundos, e se reconhece igual consigo mesmo em sua solidão”. O eu nesta solidão consigo mesmo é sem dúvida o que está além; ele veio para si mesmo, ele está na pura autoconsciência, à negatividade absoluta é trazida para a afirmação e para a presença, enquanto naquele para progredir além do sensitivo só foge. Mas no entanto isso é puro e fixo em sua abstração e falta de conteúdo, tem a existência em geral, a plenitude do universo natural e espiritual na frente de si mesmo como mais um ali. A mesma contradição se manifesta está na base do progresso infinito, isto é, um ter retornado dentro de si mesmo, que ao mesmo tempo e de modo imediato é um ser fora de si, uma referência ao outro quanto ao seu não-ser; referência que permanece sendo um desejo ardente, porque o eu fixou para si seu vazio impotente e inconsistente, e [por outro lado] fixou como sua vida após a morte a plenitude que permanece no entanto presente na negação.
Kant acrescenta a essas duas sublimidades a observação de que a admiração (pelo primeiro, o exterior) e a couraça (para o segundo, o interior) estimular, sem dúvida, para a pesquisa, mas eles não podem compensar o seu defeito.- Declara, portanto, essas elevações como insatisfatórias à razão, que não pode permanecer firme neles e nas sensações ligadas a eles, nem pode fazer uso do além e do Vazio como o último.
Mas, como último, progresso infinito foi considerado especialmente em sua aplicação à moralidade. A recentemente mencionada segunda oposição entre finito e infinito, como [oposição] entre o mundo múltiplo e o eu elevado em sua liberdade, é em primeiro lugar qualitativa. A autodeterminação do eu atinge tanto o resultado para determinar a natureza e se livrar dela; desta maneira, o eu se refere a si mesmo através de seu outro, que como existência externa é múltipla e também quantitativa. A referência a um quantitativo converte-se em quantitativo; a referência negativa do eu a isso, o poder do eu sobre o não-eu, sobre a sensibilidade e natureza externa, é, portanto, representada de tal forma que a moralidade pode e deve tornar-se cada vez maior, mas o poder da sensibilidade pode e deve tornar-se cada vez menor. Mas a adaptação perfeita da vontade com respeito à lei moral é transferida no progresso que procede ao infinito, isto é, representado como um além absoluto e inacessível, e neste precisamente deve consistir na verdadeira âncora e no consolo, isto é, que [este além] seja algo inacessível. Com efeito, a moralidade deve existir como uma luta; mas isso existe apenas subordinado à incongruência entre a vontade e a lei; portanto, esta [a lei] é absolutamente um além daquela [a vontade].
Nesta oposição, o eu e o não-eu, isto é, a vontade pura e a lei moral, bem como a natureza e a sensibilidade da vontade, são orçamentos completamente independentes e indiferentes em relação ao outro. A vontade pura tem sua própria lei, que é uma relação essencial com a sensibilidade; por outro lado, natureza e sensibilidade têm leis que não são tiradas da vontade nem correspondem a isso, não só eles teriam em si mesmos, embora diferente dele, uma relação essencial com ele, mas eles estão geralmente determinados por si mesmos, e em si mesmos acabados e exagerados. Mas ao mesmo tempo são ambos os momentos de uma e mesma essência simples, do eu; a vontade é determinada como negativa em relação à natureza, de modo que ela existe apenas na medida em que há tal ser diferente dela; e embora este seja superado por ela, neste [muito ato de superá-la] é tocado e também afetado por aquela. Para a natureza, mesmo considerada como sensibilidade do homem, é uma limitação indiferente por meio de outra, na medida em que é um sistema independente de leis; ela permanece nesse ser determinado, entra de forma independente no relacionamento, e coloca um termo à vontade da lei, tanto quanto coloca um prazo nele. -Eles são um ato único, aquele pelo qual a vontade é determinada e supera o ser-outro de uma natureza, e aquela pela qual este ser-outro é colocado como existente, continua em seu superado e não é superado. A contradição que está aqui não é resolvida em um progresso infinito, pelo contrário, é apresentado e afirmado como não resolvido e insolúvel; a luta entre moralidade e a sensibilidade é representada como a relação existente em si e por si mesma, o relacionamento absoluto.
A impotência de se tornar o dominador da oposição qualitativa entre o finito e o infinito e do conceber a ideia de verdadeira vontade, isto é, liberdade substancial, tomar a magnitude de seu refúgio, propósito de usá-lo como mediador, porque é a qualitativa superada, a diferença convertida em indiferente. No entanto, dado que os dois membros da oposição continuam a permanecer na base como qualitativamente diferente, acontece sim - porque eles se comportam em sua relação recíproca como quantos - que cada um é imediatamente colocado como indiferente a respeito dessa mutação. A natureza é determinada pelo eu, a sensibilidade pela boa vontade, a mutação produzida por este nesse um é apenas uma diferença quantitativa, e uma diferença que permite que ela subsista como é.
Na mais abstrata exposição da filosofia kantiana ou pelo menos de seus princípios, vale a pena dizer em A doutrina da ciência de Fichte, progresso infinito, constitui da mesma forma a fundação última. Para a primeira proposição fundamental desta exposição: eu = eu, siga um segundo, independente disso, a oposição do não-eu. A relação de ambos é aceita de uma vez também como uma diferença quantitativa, como o não-eu é parcialmente determinado pelo eu e parcialmentenão. O não-Eu continua assim em seu não-ser, então neste não ser dele se opõe como não removido. Portanto, após as contradições ali contidas terem sido desenvolvidas no sistema, o resultado conclusivo consiste nessa relação que foi o começo; o não-eu continua sendo um choque infinito, outro absoluto; a última relação dele e de mim entre eles consiste no progresso infinito, saudade e esforço - que é a mesma contradição com a qual ele havia começado. Como o quantitativo é a determinação definida como superada, acreditava-se que uma vantagem havia sido alcançada grande ou antes do bem total para a unidade do absoluto e para a única substancialidade, se tivesse sido reduzida a oposição em geral a uma diferença apenas quantitativa. Toda a oposição é apenas quantitativa, foi algum tempo um axioma da filosofia moderna; as determinações opostas têm a mesma essência, o mesmo conteúdo, são aspectos reais da oposição, em que cada um deles tem suas duas determinações, seus dois fatores, só que de um lado teria sua preponderância um fator, de outro o outro, [isto é] de um lado estaria presente um fator, um assunto ou atividade em maior quantidade ou em maior grau do que no outro. Quando diferentes assuntos ou atividades são pressupostos, a diferença quantitativa confirma e cumpre antes a exterioridade e indiferença entre eles um contra o outro e na diante da sua unidade. A diferença da unidade absoluta deve ser apenas quantitativa; o [aspecto] quantitativo é certamente a determinação imediata superada; mas apenas o imperfeito, apenas a primeira negação, não o infinito, não a negação da negação. - Quando ser e pensar são representados como determinações quantitativos da substância absoluta, eles também se tornam, como quantidade, em extrínseco e não relacionado, como, em uma esfera subordinada, carbono, azoto, etc. É um terceiro, uma reflexão externa que abstrai de sua diferença e reconhece sua unidade interna, existindo apenas em si e inexistente por si. Esta unidade é desta forma representada apenas como a primeira e imediata ou apenas como sendo, que em sua diferença quantitativa permanece o mesmo, mas não igual para si mesmo por si mesmo; portanto, não é concebido como uma negação da negação, isto é, como uma unidade infinita. Somente na oposição qualitativa surge o conjunto do infinito, o ser-para-si; e a determinação. O próprio quantitativo, como se manifestará em breve, vai além do aspecto qualitativo.
Foi recordado acima que as antinomias kantianas são exposições de oposição finita e infinita de forma mais concreta, aplicada a substratos mais especiais da representação. A antinomia considerado ali continha a oposição de finitude qualitativa e infinito. Em outro [antinomia], o primeiro das quatro antinomias cosmológicas, é antes o termo quantitativo que é considerado em seu contraste interior. Por isso vou colocar neste ponto a investigação desta antinomia.
Isto diz respeito à limitação ou ilimitação do mundo no tempo e no espaço. -Esta oposição poderia igualmente bem ser considerado mesmo com relação ao tempo e ao espaço, sejam eles tempo e relações espaciais das coisas em si, ou já, por outro lado, apenas formas de intuição. Isso não muda em nada em relação ao aspecto antinômico da limitação ou limitação neles. Uma explicação mais particular desta antinomia também mostrará que as duas opostas e também suas demonstrações, que são desenvolvidas de uma maneira apagáfica, como no caso da [antinomia] considerado acima, eles não vão parar em outro [resultado] do que nos dois simples e afirmações opostas: há um termo e tu tens que ir além do termo.
A tese é a seguinte:
"O mundo tem um começo no tempo e também no que diz respeito ao espaço é fechado dentro dos termos.”
Uma das partes do teste, que diz respeito ao tempo postulado de outra forma, é: [supõe] que
"O mundo não tem começo no tempo: até que todo momento (ponto de tempo) dado passou uma eternidade e com isso passou uma série infinita de situações das coisas no mundo que se seguiram. Mas o infinito de uma série consiste precisamente nisso, que [a série] nunca pode ser terminado por meio de uma síntese sucessiva. Portanto, uma série é impossível infinita cósmica já decorrida, e com isso um começo do mundo é uma condição necessária de sua existência - o que tinha que ser demonstrado”.
A outra parte do teste, que se refere ao espaço, é reduzida ao tempo. A coleção das partes de um mundo infinito no espaço exigiria um tempo infinito, que deveria ser considerado como passou enquanto o mundo no espaço não deve ser considerado como algo que acontece, mas como algo já completo. Mas com relação ao tempo foi mostrado na primeira parte do teste que é impossível postular como um tempo infinito se passou. Mas é visto imediatamente que era desnecessário realizar o teste de uma maneira apagada ou em geral para reivindicar uma prova, porque no teste é baseada imediatamente a afirmação do que deveria ser demonstrado. Isto é, um determinado ponto ou tempo determinado é admitido, até o qual depois de uma eternidade (a eternidade aqui tem apenas o sentido fútil de um tempo falsamente infinito). Agora, um dado ponto no tempo não significa nada além de certo limite de tempo. Em a prova, portanto, é estimada como um limite de tempo real; mas isso é precisamente o que que deve ser mostrado. Porque a tese consiste nisso, que o mundo tem um começo no tempo. Há apenas a diferença que o limite de tempo admitido é agora como o fim dos tempos decorrido e, por outro lado, o que deve ser demonstrado é agora o início de um tempo futuro; sem no entanto, essa diferença não ser essencial. O agora é tomado como o ponto para o qual uma série de infinitas situações de coisas no mundo sucessivas umas para as outras, devem ter decorrido; ambos são tomados como um fim, como um termo qualitativo. Se isso agora tivesse que ser considerado apenas como um termo quantitativo, que estava fluindo e não só tinha que ser superado, mas sim era superar-se, então a série temporal infinita não teria decorrido, mas que continuaria a fluir e o raciocínio da evidência entraria em colapso. Em vez disso, o ponto temporário foi tomado como um termo qualitativo para o passado, mas é, ao mesmo tempo, um começo para o futuro - por si só, cada ponto temporal constitui a relação entre o passado e o futuro, - e é também um começo absoluto, isto é, abstrato, para este futuro, isto é, o que deveria ser demonstrado. Não importa a pergunta, que antes de seu futuro e deste mesmo começo dele, já existe um passado como este momento é um termo qualitativo - e tomá-lo como qualitativo está no determinação do terminado, decorrido e, portanto, [de] que não é continuado - acontece que o tempo é interrompido nele, e esse passado não está relacionado àquele tempo que poderia ser chamado futuro apenas em relação a este passado; portanto, sem essa relação, é apenas o tempo em geral, que tem um começo absoluto. Mas se fosse - (como é) - em um relacionamento com o passado por meio deste "agora", isto é, do ponto temporal dado, e foi, assim, determinado como futuro, então nem este ponto de tempo seria, por outro lado, um termo, e a série temporal infinita seria continuar no que é chamado de futuro, e não seria, como foi feito, terminado.
Na verdade, o tempo é pura quantidade; o ponto temporal utilizado no teste e em que para ser interrompido, é apenas o ser-para-si do agora que se elimina. O teste não não faz mais do que converter o termo absoluto do tempo, afirmado na tese, em [um termo] representável como um determinado ponto de tempo, e levá-lo sem mais ou mais como ponto final, ou seja, resumo - que é uma determinação popular, que representação sensível facilmente passa como um termo; e, portanto deixa de valer na prova como um postulado, o antes proposto como aquele que se devia demostrar. A antítese reza: "O mundo não tem começo e nem término no espaço, mas é infinito tanto em relação ao tempo como ao espaço!”. A prova estabelece igualmente o contrário: "Tenha um começo o mundo. Dado que o começo é uma existência, à qual antecede um tempo onde a coisa não existe, assim deve haver passado anteriormente um tempo no qual o mundo não existia, isto é, um tempo vazio. Porém em um tempo vazio não é possível nenhum nascimento de qualquer coisa; porque nenhuma parada de um tempo tal tem em si diante qualquer outra uma condição diferenciadora da existência frente à [condição] da não existência. Portanto podem, sem duvida, no mundo começar muitas séries de coisas, porém o próprio mundo não pode admitir nenhum começo e com relação ao tempo passado é infinito." Esta prova apagógica contem, tal como as outras, a afirmação direta e não-demonstrada do que devia demostrar. Isto é, admite sobretudo um mais além da existência temporal, um tempo vazio; mas continua a seguir também a existência cósmica igualmente mais além de si mesma neste tempo vazio, e deste modo supera tal tempo vazio, e portanto, continua a existência ao infinito. O mundo é uma existência; a prova pressupõe que esta existência nasce e que seu nascimento tem uma condição antecedente no tempo. Contudo, a antítese consiste nisto, precisamente, que não pode dar-se qualquer existência incondicionada, nenhum término absoluto, mas que a existência cósmica exige sempre uma condição antecedente. O que se devia demonstrar encontra-se pressuposto na prova. — Além disso a condição acha-se em seguida procurada no tempo vazio; o qual significa precisamente que se a admite como cronológica e portanto como uma existência, e uma existência limitada. Em geral, pois, se postula que o mundo como existência pressupõe outra existência condicionada no tempo, e assim ao infinito. A prova da infinitude do mundo no espaço é a mesma. Está posta de maneira apagógica a finitude espacial do cosmos: "este se encontraria portanto em um espaço vazio indeterminado e teria uma relação com este [espaço]; porém tal relação do mundo com nenhum objeto é o nada." O que devia demonstrar-se se acha aqui igualmente pressuposto de maneira direta na prova. Diretamente se admite que o mundo limitado espacialmente tenha que achar-se em um espaço vazio e ter uma relação com este, isto é, que deve sair mais além dele —por um lado no vazio, no mais além e no não-ser dele, contudo por outro lado [se admite] que ele se acha em uma relação com este [vazio], quer dizer, que se continua nele, e que de tal modo o mais além tem que representar-se como cheio de existência cósmica. A infinitude do cosmos no espaço, que se encontra afirmada na antítese, nada mais é que o espaço vazio por um lado, e por outro a relação do cosmos com ele, isto é, a continuidade do cosmos nele ou seja o preenchimento dele —cuja contradição —do espaço concebido também como vazio e como preenchido -- é o progresso infinito da existência no espaço. Esta própria contradição, isto é, a relação do cosmos com o vácuo, se encontra na prova diretamente convertida em base.
A tese e a antítese e as provas delas, portanto, não mostram nada além do que as afirmações opostas de que há um término e que o término é também somente um término superado; e que o término tem um mais além, com o qual porém está em relação, e para onde se há de sair, porém onde torna a surgir tal término, que não é término.
A solução desta antinomia, tal como a das anteriores, é transcendental, quer dizer, consiste na afirmação da idealidade do espaço e do tempo como formas da intuição, no sentido de que o cosmos em si não está em contradição consigo, não é um ser que se supere a si mesmo, mas que somente a consciência em seu intuir e na relação da intuição com o intelecto e a razão, é um ser que se contradiz a si próprio. Há uma excessiva ternura para o mundo neste [ato] de alienar a contradição dele, e translada-la por outro lado ao espírito, à razão e deixá-la subsistir ali sem solução. Contudo, é o espírito o que é tão forte como para poder suportar a contradição, entretanto também é aquele que a sabe solucionar. O dito mundo, ao contrario (seja que signifique o mundo objetivo real ou mesmo, de acordo com o idealismo transcendental, o subjetivo intuir e a sensibilidade determinada por meio da categoria do intelecto) não carece portanto da contradição, porém não pode aguentá-la, e por isto se encontra abandonado como presa do nascer e do perecer.
1. O quanto infinito, infinitamente grande ou infinitamente pequeno, é em si mesmo infinito progresso; é um quanto na medida em que é grande ou pequeno, e é ao mesmo tempo o não-ser do quanto. O que é infinitamente grande e infinitamente pequeno são, portanto, figuras de representação que são mostradas, uma consideração mais atenta, como névoa e sem sombra. Mas no progresso infinito essa contradição é apresentada explicada, e junto com ela [também é explicada] o que é natureza do quanto, que como uma magnitude intensiva atingiu sua realidade e agora é colocado em sua existência como está no seu conceito? Essa identidade é o que tem que ser considerado. O quanto como um grau é simples, referido a si mesmo e determinado em si mesmo. Porque eles são superados, através dessa simplicidade, o ser-outro e a determinação, isso permanece fora; ele tem sua determinação fora de si mesmo. Este ser-fora-de-si é acima de tudo o não-ser abstrato do quanto em geral, o mau infinito. Mas além disso, o não-ser também é uma magnitude; o quanto é continuado em seu não-ser, tem precisamente sua determinação em sua exterioridade; Portanto, esta exterioridade dela é também ela mesma um quanto. Desta forma, esse não-ser seu, infinito, está acabado, isto é, que este além é superado e se determinou como um quanto, que é, assim, em sua negação, situado em si mesmo.
Mas isso é o que o quanto como tal é em si mesmo. Porque ele é ele mesmo precisamente através de sua exterioridade; a externalidade constitui aquilo para o qual é tudo o que é em si. Portanto em progresso infinito, o conceito de quanto é posto.
Se tomarmos este progresso antes de tudo em suas determinações abstratas, como elas são apresentadas, então está presente nele a superação do quanto, mas também a de seu além, e, portanto, a negação de quanto, assim como a negação dessa negação. Sua verdade consiste na unidade deles, onde eles estão, mas como momentos. - Esta [unidade] é a solução da contradição, cuja expressão é que o [progresso infinito], e seu significado mais próximo é, portanto, a restauração do conceito de magnitude, pelo qual este é um termo indiferente ou externo. Em progresso infinito como tal, geralmente é refletido apenas nisto, que o quanto, se ainda é grande, seja pequeno, desaparece e que deve ser capaz de ultrapassá-lo; mas normalmente não se pensa que isto é superado, que é o além ou o infinito nulo, também desaparece mesmo.
Já o primeiro a ser superado, é a negação da qualidade em geral, através da qual o quanto é colocado, é em si a superação da negação - porque o quanto é o termo qualitativo superado e, portanto, uma negação superada, mas ao mesmo tempo isso é apenas em si. Quando posto, é encontrado como uma existência e portanto, sua negação é fixada como o infinito, como o além do quanto, que é como um aqui, como um imediato. Assim, o infinito é determinado apenas como a primeira negação e assim aparece no progresso infinito. Mas foi mostrado que algo mais é apresentado nisso, isto é, a negação da negação, isto é, o que o infinito é na verdade. Isso tem sido considerado maior no sentido de que o conceito de quanto é encontrado por este meio restaurado; e esta restauração significa em primeiro lugar que a sua existência atingiu sua determinação mais exata; quer dizer que o quanto foi determinado de acordo com seu conceito, que é diferente do quanto imediato. A externalidade é agora o oposto de si mesma, ser posicionada como um momento da mesma magnitude, e o quanto [está definido] de tal forma que por mediação do seu não-ser, isto é, do infinito, tem sua determinação em outro quanto, qualitativamente, o que é. No entanto, esta comparação do conceito do quanto com a sua existência pertence mais à nossa reflexão, e um relacionamento que ainda não está presente aqui. A determinação, que é mais próxima, consiste em que o quanto retornou à qualidade e agora é determinado qualitativamente. Bem sua propriedade peculiar, a qualidade, é a exterioridade, a indiferença em relação à determinação; e ele é agora definido para ser em sua exterioridade em si, e para se referir a ele para si, e estar em simples unidade com o ser determinado qualitativamente. Essa aparência qualitativa determinado mais precisamente, isto é, como ser-para-si, porque a relação consigo mesmo, a qual chegou, surgiu da mediação, isto é, da negação da negação. O quanto tem infinito, para ser determinado por si mesmo, não mais fora dele, mas em si mesmo.
O infinito, que em progresso infinito tem apenas o significado vazio de um não-ser, de um não-além alcançado, mas procurado, é realmente nada mais do que qualidade. O quanto, como um termo indiferente, prossegue além de si até o infinito; não procura, assim, nada mais que o ser-determinado-por-si, o momento qualitativo, que, no entanto, é desta forma apenas um dever-ser. Sua indiferença ao termo, portanto, sua falta de uma determinação existente por si mesma e de ir além de si mesma é o que faz do quanto ser quanto; que sua saída deve ser negada e deve encontrar no infinito sua determinação absoluta. Absolutamente, em geral, quanto é a qualidade superada; mas o seu infinito, vai além, é a negação de si mesmo; isto para deixar o seu, portanto, é em si a negação da qualidade negada, a restauração disto; e o seguinte é estabelecido: a exterioridade, que apareceu como vida após a morte, é determinada como o momento do quanto em si.
O quanto é assim colocado como rejeitado de si mesmo; portanto, existem dois quantos, que no entanto são superados e são apenas como momentos de uma única unidade, e esta unidade é a determinação de quanto. Isto, referindo-se assim a si próprio na sua exterioridade como um termo indiferente e com isto coloca qualitativamente, constitui a relação quantitativa. -Na relação que o quanto é exterior a si mesmo, diferente de si mesmo; esta exterioridade é a relação de um quanto com outro quanto, de que cada um vale apenas nesta relação de vós com o seu outro; e esta relação constitui a determinação do quanto, que existe como tal unidade. Neste, o quanto tem uma determinação não indiferente, mas qualitativa; e neste sua exterioridade retornou a si mesma, e é nessa mesma [exterioridade] que é.
O infinito matemático, por um lado, é interessante através da extensão da matemática e dos grandes resultados que sua introdução nesta produziu; mas por outro lado, é digno de atenção porque esta ciência ainda não conseguiu emanar sobre o uso deste próprio infinito justificação por meio do conceito (de um conceito tomado em seu próprio sentido). As justificativas ficam em conclusão sobre a precisão dos resultados que foram alcançados com a ajuda dessa determinação, precisão que é demonstrada por outras fundações - mas não por clareza do objeto e da operação através da qual os resultados são alcançados, ao ponto que é concedido em vez disso, a operação em si é imprecisa.
Isso já é um inconveniente em si mesmo; esse procedimento não é científico. Mas também carrega consigo a desvantagem que a matemática - por não conhecer a natureza deste instrumento seu, porque não tem terminado com a metafísica e crítica de que, não poderia determinar o âmbito da sua aplicação ou abrigo contra o uso indevido do mesmo. Mas no sentido filosófico, o infinito matemático é importante porque, de fato, ele está em seu conceito de infinito verdadeiro, e ele mesmo está muito acima do assim chamado infinito metafísico habitual, com base no qual as objecções contra o primeiro são alegadas. Contra essas objeções, a ciência da matemática muitas vezes sabe como se salvar apenas pelos seguintes meios: rejeitar a competência da metafísica, afirma que ela não tem nada a ver com essa ciência, e que ela não precisa se preocupar com os conceitos disso, quando ela só se comporta de maneira consistente no seu terreno. Ela [a matemática] não precisa considerar o que é verdadeiro em si, mas o que é verdadeiro em seu próprio campo. A metafísica não pode negar ou derrubar os brilhantes resultados do uso do infinito matemático, por meio de suas objeções contra ele; e matemática não sabe como esclarecer a metafísica de seu próprio conceito e, tanto, nem a dedução de seus modos de proceder que o uso do infinito se torna necessário.
Se fosse apenas a dificuldade do conceito em geral que a matemática é oprimida, ela poderia deixar esse conceito sem cerimônia, porque precisamente o conceito é algo mais do que apenas afirmação das determinações essenciais, isto é, das determinações intelectuais de uma coisa; com relação ao rigor dessas determinações ela [a matemática] não perdeu nada. Contudo, não é uma ciência que tem a ver com os conceitos de seus objetos e que ela deve engendrar o conteúdo destes ao desenvolvimento do conceito, mesmo que apenas por meio de raciocínio. No entanto, no método de seu infinita ela encontra o capital contraditório no mesmo método particular, no qual repousa como uma ciência em geral. Para o cálculo infinitesimal permite e exige procedimentos que a matemática, em operações com magnitudes finitas, deve absolutamente rejeitar; e ao mesmo tempo trata suas infinitas magnitudes como finitas e quer aplicar-lhes os mesmos procedimentos que valem a pena nestes. É um aspecto capital da melhoria desta ciência que se conseguiu para as determinações transcendentais e o tratamento destas, as formas do cálculo usual.
A matemática mostra, mesmo neste contraste de suas operações, que os resultados encontrados por elas coincidem completamente com aqueles que são encontrados pelo método próprio da matemática, que é o método analítico e geométrico. Mas por um lado isso não diz respeito a todos os resultados, e o fim da introdução do infinito não é apenas para encurtar o caminho comum, mas para alcançar resultados que não podem ser alcançados por este. Por outro lado, o sucesso por si só não justifica a maneira do procedimento. Mas dessa maneira o cálculo infinitesimal é mostrado trabalhado pelo aparecimento da imprecisão que é dada a si mesmo, uma vez que aumenta as magnitudes finitas por uma magnitude infinitamente pequena e, em seguida, na operação sucessivamente preserva-a parcialmente, mas em parte também a deixa para trás. Este procedimento contém a peculiaridade que, apesar da imprecisão declarada, é alcançado um resultado que não é apenas suficiente e tão aproximado que a diferença poderia ser negligenciada, mas é perfeitamente preciso. Mas na operação em si, que precede o resultado, não pode ser omitida. representação de que algo não é igual à zero, mas que é tão sem importância, que pode não ser levado em consideração. No entanto, no que deve ser estabelecida para precisão· matemática, qualquer distinção entre maior e menor precisão, como como na filosofia, não pode ser uma questão de maior ou menor probabilidade, mas apenas da verdade. Embora o método e uso do infinito sejam justificados pelo sucesso, não é supérfluo, no entanto, apesar disso, requer sua justificativa, como em uma consideração imediatamente parece supérfluo pedir a prova do direito de usá-lo. Porque no conhecimento matemático, considerado como um conhecimento científico, tu tens que lidar essencialmente com a demonstração, e mesmo com relação aos resultados, descobrimos que o rigoroso método matemático não oferece toda a justificativa do sucesso, que, no entanto, mesmo sem isso, é apenas uma justificativa externa.
Vale a pena considerar mais de perto o conceito matemático do infinito e as tentativas mais notáveis pretendendo justificar o seu emprego e anular as dificuldades pelas quais esse emprego é sentido oprimido. A consideração destas justificações e determinações do infinito matemático, que nesta nota quero fazer um objeto de reflexões amplas, e ao mesmo tempo posso lançar a melhor luz sobre a natureza do verdadeiro conceito em si e mostrar como tem sido obscuramente vislumbrado por eles e como tem sido na base deles. A determinação ordinária do infinito matemático é que é uma magnitude, além da qual -quando é determinada como infinitamente grande, não há maior ou nenhum bem - quando é determinada como infinitamente pequeno, não pode mais ser dado menor, isto é, no primeiro caso é maior ou no segundo é menor que qualquer magnitude dada. –Nesta o verdadeiro conceito não é expresso de forma definitiva; em vez disso, como já observado, apenas a contradição que consiste no progresso infinito; mas vamos ver o que está contido em si mesmo. Uma magnitude em matemática é definida [como se diz] algo que pode ser aumentado e diminuído, portanto, em geral, um termo indiferente. Agora, dado que o infinitamente grande ou infinitamente pequeno é tal que já não pode ser aumentado ou diminuído, na realidade não é mais um quanto como tal. Essa consequência é necessária e imediata. Mas a reflexão que o quanto - e eu chamo de tudo em geral, nesta nota, o quanto finito é superado, é o reflexo que normalmente não é realizado, e que para a concepção ordinária constitui a dificuldade, pois exige que o quanto, sendo infinito, seja pensado como superado, como um que não é um quanto, e dos quais, no entanto, permanece a determinação quantitativa. A fim de referir como Kant julga essa determinação(2) [lembre-se de que] ele não acha isso coincidente com o que isso é entendido por um todo infinito. "De acordo com o conceito comum seja infinita uma magnitude, acima dos quais não é possível maior (isto é, acima da multidão, contida nela, de um dada unidade); mas nenhuma multidão seria a maior, porque sempre pode ainda adicionar uma ou mais unidades. - Em contraste, por meio de um todo infinito, você não tem a representação de quão grande é, e desta forma seu conceito não é o conceito de um máximo (ou um mínimo), mas por este meio apenas é considerada a sua relação com uma unidade a ser escolhida à vontade, com relação a qual este [todo infinito] é maior que qualquer número. Sempre, de acordo com esta unidade quer seja maior ou menor, o infinito teria que ser maior ou menor; no entanto, a infinitude, uma vez que consiste apenas na relação com esta dada unidade, teria que permanecer sempre a mesma, embora com isso a magnitude absoluta do todo não seja absolutamente conhecida.” Kant critica que eles consideram o infinito tudo como um máximo, como uma multidão terminou com uma dada unidade. O máximo e o mínimo como tal ainda aparecem apenas como um quanto, multidão. Tal representação não pode rejeitar a consecução alegada por Kant, que leva a um infinito maior ou menor. Em geral, como o infinito é representado como quanto, ele ainda é válido para ele a diferença de um maior ou menor. No entanto, esta crítica não diz respeito ao conceito de verdadeiro infinito matemático, da diferença infinita, porque isso não é mais um quanto finito. Em vez disso, o conceito kantiano do infinito, que ele chama de conceito transcendental verdadeiro, é "que a síntese sucessiva da unidade na medição de um quanto nunca pode ser concluída" Um quanto em montante geral é encontrado como dado; e isso deveria, executando a síntese da unidade, tornar-se um montante, numa quantidade que pode ser atribuída de uma determinada maneira; mas esse efeito de síntese nunca poderia ser terminado. Com isto, claro, nada além de progresso em direção ao infinito, representado apenas transcendentalmente, isto é, precisamente subjetivo e psicológico. Em si o quanto tem que ser terminado; mas de um modo transcendental, isto é, no sujeito que lhe dá uma relação com uma unidade, poderia nascer apenas tal determinação do quanto, que seria incompleta e absolutamente afetado por um além. Portanto, permanecemos aqui, em geral, detidos na contradição que a magnitude contém, mas dividida entre objeto e sujeito, de modo que corresponda àquele a limitação, para isto, a ir além de qualquer determinação capturada por ele, [que é um procedimento] na má infinitude. Pelo contrário, foi dito anteriormente que a determinação do infinito matemático e precisamente como ele o usa na análise superior, corresponde ao conceito de infinito verdadeiro; e agora temos que começar a composição de ambas as determinações em um desenvolvimento mais amplo. -Quando o verdadeiro quanto infinito, em primeiro lugar, foi determinado como infinito em si mesmo; é tal porque, como foi mostrado, como finito ou quanto em geral e seu além, a má infinitude, foram superados da mesma maneira. O que foi superado retornou, assim, à simplicidade e ao relacionamento consigo mesmo, mas não apenas e a extensão extensiva, na medida em que penetrou em um grau intensivo que só em si tem sua determinação em uma multiplicidade externa, contra a qual, no entanto, é indiferente, e em relação ao qual deve ser distinguido. O quanto infinito contém antes, em si mesmo, em primeiro lugar, a exterioridade e, em segundo lugar, a negação disso. Desta forma, não é mais certo finito, nem uma determinação de magnitude, que tem uma existência como quanto, mas é simples e, portanto, existe apenas como um momento; é uma determinação de magnitude em forma qualitativa; seu infinito consiste em existir como uma determinação qualitativa. Desta forma, como um momento, é em unidade essencial com o outro, apenas como determinado por meio deste seu outro, isto é, ele tem apenas um significado em relação a algo que está em relação a ele. -Fora desta relação é zero-; porque precisamente o quanto como tal, indiferente em relação ao relacionamento, deve ser em si ainda uma determinação imediata em repouso. Na relação, como único momento, não é algo em si indiferente está no infinito como um ser-para-si, na medida em que é ao mesmo tempo uma determinação quantitativa, e é apenas como um ser-para-um.
O conceito de infinito, como foi apresentado aqui de maneira abstrata, será mostrado como posicionado no fundo do matemático infinito, e ele se tornará mais claro ele mesmo, tanto vamos considerar os diferentes graus da expressão do quanto como um único momento de um relacionamento, do mais baixo, onde ele ainda está no momento do quantum como tal, para o mais alto onde ele recebe o significado e expressão da magnitude infinita. Então, nós tomamos, em primeiro lugar, o quanto no relacionamento, onde é um número fracionário. Tal fracionário, por exemplo : 2/7, não é um quanto 1, 2, 3, etc.; certamente esse é um número finito comum, no entanto não é um número imediato como os números inteiros, mas, como fracionário, é determinado mediatamente por dois outros números, que são a quantidade e a unidade um na frente do outro, onde também o unidade é certa quantidade. Mas em abstração desta determinação mútua mais particular deles, e considerando-os simplesmente no que lhes acontece na relação qualitativa em que estão aqui como quantos, então 2 e 7 são indiferentes; mas desde que eles são apresentados aqui somente como momentos, um do outro, e portanto [como momentos] de um terceiro (isto é, do que é chamado a fração), não valem de uma vez como 2 e 7, mas apenas de acordo com a sua determinação recíproca. Portanto, em vez deles, também é possível colocar 4 e 14, ou 6 e 21, etc., no infinito.Com isto portanto, eles começam a ter um caráter qualitativo. Se valessem apenas quantos, então 2 e 7 estariam em absoluto apenas 2 e o outro apenas 7; e 4, 14, 6, 21, etc., seriam um pouco diferentes daqueles números e não podiam, desde que fossem apenas imediatos, ser colocados no lugar dos outros. Mas enquanto 2 e 7 não valem de acordo com a determinação de ser tal quantidade, desta forma o seu termo foi superado indiferente. Eles têm, portanto, de acordo com esse aspecto, o momento do infinito neles, desde que não apenas não são precisamente eles mesmos, mas eles permanecem sua determinação quantitativa, mas como uma determinação qualitativa que existe em si, isto é, pelo que valem no relacionamento. Em seu lugar infinitamente muitos outros podem ser colocados, de modo que o valor da fração, devido à determinação que tem o relacionamento, não muda. Mas a expressão que o infinito tem em um número quebrado ainda é imperfeita, porque ambos os membros da fração, 2 e 7, podem ser removidos do relacionamento e são ordinários indiferentes; a relação entre eles [consiste] em estar em relação e ser momentos, é para eles algo externo e indiferente. Igualmente, sua própria relação é um quanto comum, o valor da relação. As letras que operam na aritmética universal [e que representam] a próxima universalidade em que os números são elevados, eles não têm a propriedade de ser [fornecido] com um valor numérico determinado; são apenas sinais universais e possibilidades indeterminadas de qualquer valor dado. O quebrado (fração) a / b parece, portanto, ser uma expressão mais conveniente do infinito, porque a e b, retirados de sua relação recíproca, permanecem indeterminados e, mesmo separados, não têm valor nominal particular próprio. No entanto, essas cartas são certamente colocadas como magnitudes indeterminadas; mas seu significado é que eles são certo finito. Assim como eles são, a representação, sem dúvida universal, mas apenas do número determinado, para eles é igualmente indiferente estar dentro do relacionamento, e fora dele, eles mantêm seu valor. Se considerarmos ainda mais de perto o que é apresentado no relacionamento, então [vemos que] tem ambas as determinações em si, primeiro a de ser um quanto, mas, segundo, que este [quanto] não é como um imediato, mas tem uma oposição qualitativa. Permanece na relação com o tempo que determinou, indiferente, porque retornou a si mesmo do seu ser-outro, que é da oposição e, portanto, é também um infinito. Estas duas determinações são apresentadas nas seguintes formas conhecidas, desenvolvida em sua diferença, uma da outra. Os 2/7 fracionários podem ser expressos como 0,285714 ... [e o quebrado] 1/1-a como 1 + a + a² +a³, etc. Deste modo existe como uma série infinita; o próprio partido é chamado de soma ou expressão finita desta série. Sim nós comparamos as duas expressões, a uma, isto é, a série infinita, não mais prescreve a quebrada como relacionamento, mas de acordo com o aspecto para o qual é um quanto como uma multidão de tais [entidades] que eles adicionam um ao outro, isto é, como uma quantia. - Não é importante aqui que a imagem que deve constituí-lo como um montante, por sua vez, em fracções decimais e, por relacionamentos próprios; porque esta circunstância diz respeito às espécies particulares da unidade destas grandezas, e não as grandezas como elas constituem a quantidade. Além disso, um número de todo o sistema decimal, consistindo de uma pluralidade de figuras, é essencialmente uma quantidade e ninguém é fixo se consistir em produtos de um número [multiplicado] pelo número dez e seus poderes. Assim como não importa aqui que outras falências que não sejam tomadas como exemplo, 2/7, aqueles que se converteram em frações decimais, não dão uma série infinita; mas todos podem ser expressos como tal [séries infinitas] por um sistema numérico de outras unidades.
Agora, como na série infinita, que deve apresentar a falência como uma quantia, ela desaparece o aspecto pelo qual [este partido] é uma relação, o aspecto segundo o qual, como foi mostrado anteriormente, tem o próprio infinito. Mas esse [infinito] entrou de outra maneira; vale a pena dizer que a série é em si mesma infinita. Claro que agora é por si só, que espécie é o infinito da série; é o mau infinito de progresso. A série contém e manifesta a contradição de apresentar algo que é um relacionamento e tem em si uma natureza qualitativa, como algo que falta em relação, como uma quantidade pura, ou como uma quantidade. A consequência disso é que sempre há algo faltando na quantidade que é expressa na série, que, para alcançar a determinação necessária, sempre há uma necessidade de ir além do que é colocado. Conhecida é a lei da progressão; ela se encontra na determinação de quanto ela é contidos no quebrado e na natureza da forma como esta [determinação] deve ser expressa. O montante pode certamente ser convertido como preciso, conforme necessário, através da continuação da série; mas sua expressão através da série sempre permanece apenas um deve ser; é sempre visto afetado por um além que não pode ser superado, porque para expressar como uma quantidade algo que repousa sobre uma determinação qualitativa é uma contradição permanente.
Nesta série infinita, existe realmente aquela imprecisão, da qual apenas a aparência no verdadeiro infinito matemático. Estas duas espécies de infinito matemático podem ser trocadas tão pouco como as duas espécies de infinito filosófico. Na exposição do verdadeiro infinito matemático, o começo da forma da série ou também foi evocada recentemente. Mas [tal caminho] não é necessário para este [infinito], ao contrário, o infinito da série infinita é essencialmente diferente daquele, como mostrará o que segue. Pelo contrário, esta [forma da série] é inferior à expressão [efetuada] por metade do quebrado. A série infinita contém precisamente o mau infinito, porque o que a série tem para expressar permanece ser um deve ser, e o que ele expressa é afetado por um além que não desaparece, e difere do que deve ser expresso. A série é infinita, não por causa dos membros que são colocados, mas porque são incompletos, e porque o outro, que essencialmente pertence a eles, está além deles. O que é encontrado na série, isto é, os membros colocados, podem ser quantos quiserem; mas há apenas um finito, no próprio sentido, colocado como finito, isto é, como tal, que não é o que deveria ser. Mas ao invés disso o que é chamado de expressão finita ou a soma de tal série, é apresentado sem falta; contém completamente o valor que a série só procura; a vida após a morte é retirada novamente de seu voo; o que isso é [soma] e o que deveria ser não é separado, mas é o mesmo.
O que diferencia os dois, consiste mais exatamente nisso, que na série infinita o negativo é encontrado fora de seus membros, que estão presentes apenas na medida em que valem como parte do montante. Expressão finita, por outro lado, que é uma relação, o negativo é imanente como o ser-determinado, termos da relação um por meio do outro, o que significa um retorno a si mesmo, uma unidade que refere-se a si mesmo, como uma negação da negação (porque os dois termos do relacionamento são como momentos), e que, portanto, tem dentro de si a determinação do infinito. Na realidade, daí, a assim chamada soma, 2/7 ou 1/1-a, é uma relação; e esta assim chamada expressão finita é a verdadeira expressão infinita. A série infinita, pelo contrário, é realmente uma soma; sua finalidade está presente na forma de soma que é em si uma relação, e os termos da série que são apresentados são como termos de relacionamento, mas como membros de um agregado. Além disso, a série é bastante a expressão finita; porque é o agregado inacabado e permanece essencialmente como algo defeituoso De acordo com o que é encontrado [no conteúdo] dele, é certa quantia; mas ao mesmo tempo é menos do que deveria ser; e também o que falta é certa quantia. Esta parte que está faltando é na verdade o que é chamado de infinito na série, e com respeito ao seu único lado formal, vale a pena dizer que é algo que está faltando, é um não-ser; mas no que diz respeito ao seu conteúdo, é um quantum finito.
Só o que está na série junto com o que está faltando, constitui o que está fracionado, quanto determinou que a série tivesse que ser, mas não pode ser. - A palavra infinito geralmente, também na série infinita, para ser [considerado] na opinião [ordinária] como algo elevado e sublime; isso é um tipo de superstição, a superstição do intelecto; mas tu viste como se resume em vez da determinação da imperfeição.
Ainda se pode observar que o fato de séries infinitas serem dadas, que não podem ser adicionadas, é uma circunstância extrínseca e indiferente em relação à forma da série em geral. Essas [séries] contém uma espécie de infinito maior que a série que pode ser adicionada, isto é, uma incomensurabilidade, ou seja, a impossibilidade de apresentar a relação quantitativa, contida neles, como um quanto, mesmo quando é uma fração; mas a forma da série como tal, que eles possuem, contém a mesma determinação de infinito ruim, que é encontrada na série sumária.
O investimento observado apenas no quebrado e em sua série, com relação à expressão, ocorre também na medida em que o infinito matemático - para dizer não o mencionado apenas, mas o verdadeiro - tem sido chamado o infinito relativo, e, por outro lado, o infinito metafísico ordinário, pelo qual o resumo infinito, o mau, foi chamado o infinito absoluto. Na verdade, este infinito é metafísico é apenas relativo, pois negação que ele expressa, se opõe a um prazo só de modo que permaneça subsistindo fora dele e não seja superado por ele; ao contrário, o infinito matemático superou em si mesmo o termo finito, porque o além deste é unificado com ele. Especialmente no sentido em que foi demonstrado que a chamada soma ou expressão finita de uma série infinita, deve ser considerada antes como a expressão infinita, Espinosa estabelece o conceito de verdadeiro infinito diante do conceito de má finitude, e o esclarece por meio de exemplos. Seu conceito atinge o grau máximo de luz se me conectar com esse desenvolvimento, o que ele diz sobre isso. Define acima de tudo o infinito como a afirmação absoluta da existência de certa natureza, e o finito, para o oposto, como determinação, isto é, como uma negação. A afirmação absoluta de uma existência tem de ser tomada precisamente como sua referência a si mesma, e não tem de existir por causa do fato que existe outro; em vez disso, o finito é a negação, um cessar como referência para outro, que começa fora dele. Agora, a afirmação absoluta de uma existência não esgota o conceito de infinito isso implica que o infinito é uma afirmação, mas não tão imediata, mas apenas como restaurada por meio da reflexão do outro em si, isto é, como uma negação do negativo. Mas em Espinosa a substância e a unidade absoluta dela tem a forma de uma unidade imóvel, isto é, que não se media com uma rigidez dentro da qual o conceito de unidade negativa ainda não é de si mesmo, isto é, subjetividade.
O exemplo matemático com o qual esclarece o verdadeiro infinito de Espinosa (Epist. xxix), consiste em um espaço [que está] entre dois círculos desiguais, dos quais um cai dentro do outro, mas sem tocá-lo, e eles não são concêntricos. De acordo com o parecer que ele deu muita importância a essa figura e ao conceito, como um exemplo do que usou, a ponto de ele fazer disso o lema de sua Ética. "Os matemáticos, diz ele, concluem que as possíveis desigualdades em tal espaço são infinitas, não por causa da multidão infinita das partes, porque a sua magnitude é determinada e acabada, e eu posso colocar tão grande e menor, mas porque a natureza da coisa excede qualquer determinação". - E visto que Spinoza repudia a representação do infinito, segundo a qual este seria representado como uma multidão ou uma série não terminada, e lembre-se que aqui, no espaço do exemplo, o infinito não está além, mas está presente e terminado. Este é um espaço acabado, mas um espaço infinito, "porque a natureza da coisa supera toda a determinação”, porque a determinação da magnitude contida nela não é, ao mesmo tempo, representável como um quanto, isto é, [disse] de acordo com a expressão kantiana mencionada acima, a síntese não pode ser cumprida até atingir [o grau de] o que quer que seja descontínuo. –Isto terá que ser mais explicado. Mais adiante em uma nota, como em geral a oposição entre quanto contínuo e descontínuo leva ao infinito. Esse infinito de uma série é chamado por Espinosa a infinidade da imaginação; ao contrário de infinito como uma referência a si mesmo ele chama o infinito do pensamento ou infinitum actu [infinito em ato]. Precisamente é actu, isto é, de fato infinito, porque é completo em si mesmo e no presente. Deste modo, a série 0,285,714 ... ou 1 + a + a² + a3 ... é o infinito apenas da imaginação ou opinião; porque não tem realidade, e falta absolutamente alguma coisa. Pelo contrário, 2/7, ou 1/1-a, é realmente não só o que é a série em seus membros atuais, mas também o que falta, o que deveria ser. 2/7 ou é 1/1-a é também uma magnitude finita, como o espaço entre os dois círculos de Spinoza e a desigualdade deles; e pode, como este espaço, ser maior ou menor. Mas não procede disto o absurdo de um infinito maior ou menor; porque essa coisa toda não diz respeito à relação de seus momentos, à natureza da coisa, isto é, à determinação qualitativa de magnitude. O que existe na série infinita é também um quanto finito, mas também um quanto quantitativo. -A imaginação, no entanto, permanece detida no quanto como tal, e não reflete sobre a relação qualitativa, que é à base da incomensurabilidade presente.
A incomensurabilidade, que está no exemplo de Espinosa, geralmente engloba em si as funções de linhas curvas e leva mais exatamente ao infinito introduzido pela matemática em tais funções (em geral, nas funções das grandezas variáveis), e esse é o infinito matemática, qualitativo que também Espinosa pensou. Esta determinação tem que ser explicada agora aqui mais exatamente.
Pelo que se refere primeiro à categoria, tão importante e valiosa, da variabilidade, em que as grandezas referidas nessas funções são concebidas, essas [grandezas] não devem ser variáveis no sentido em que estão, no 2/7 fracionário, os dois números 2 e 7, pois podem ser da mesma forma 4 e 14, ou 6 e 21 e assim por diante e, em seguida, para o infinito outros números no lugar, sem que mude o valor colocado na fração. Do mesmo modo, e ainda mais em a/b pode ser colocado em a e b qualquer número a nosso critério, sem alterar o que a / b deve expressar. Agora, no sentido que também no lugar de x e y de uma função pode ser colocada uma multidão infinita, vale a pena dizer, inesgotável de números, são a e b grandezas variáveis tanto quanto x e y. A expressão: magnitudes variáveis é, portanto, muito vaga e escolhida com infelicidade para as determinações de magnitude, cujo interesse e maneira de lidar com eles tem que ser muito diferente de sua mera variabilidade. Para tornar inteligível onde está a verdadeira determinação dos momentos de uma função, que ocupam o interesse da análise superior, temos que cruzar mais uma vez os graus já indicados. Em 2/7 ou em a / b, existem 2 e 7 cada um por si determinado e a relação não é essencial para eles; a e b devem representar igualmente tais quantidades, que mesmo fora do relacionamento, permanecem o que são. Também 2/7 e a / b também são um quanto fixo, um quociente; a relação constitui um montante, cuja unidade expressa o denominador, e a quantidade dessas unidades o numerador -ou vice-versa; mesmo que em vez de 2 e 7 coloquemos 4 e 14, o relacionamento, também o quanto, permanece o mesmo. Mas isso muda agora essencialmente por exemplo, na função y 2 / x = p. Aqui x e y têm, sem dúvida, a sensação de que podem ser determinado; mas eles não são x e y, mas apenas x e y 2 que têm um determinado quociente. Portanto, estes termos do relacionamento, x e y, não só não são determinados em primeiro lugar, mas no segundo. Em vez disso, seu relacionamento não é um valor fixo (nem existe um relacionamento como com a e b), não é um quociente firme; mas, o quanto, é absolutamente variável. Mas há apenas isso, que x não tem relação com y mas com o quadrado de y. A relação de magnitude com uma potência não é um quanto, mas essencialmente uma relação qualitativa; a relação de potência é a circunstância que tem que ser considerado como uma determinação fundamental. - Mas na função da linha reta y = ax é y / x = a, o quociente quebrado e ordinário; esta função, portanto, é apenas formalmente uma função de grandezas variáveis; isto é x e y são aqui o que a e b estão em a / b, e eles não estão nessa determinação. Considere o cálculo diferencial e integral. - Devido à natureza particular das quantidades variáveis nesta forma de consideração, teria sido oportuno intrometer para eles um nome particular como outros sinais diferentes daqueles geralmente usados para os desconhecidos em qualquer equação finita, determinada ou indeterminada; isto é, [teria sido oportuno] devido a sua diferença essencial com relação a essas magnitudes meramente desconhecidas, que são em si mesmas quantidades perfeitamente determinadas, ou uma determinada área de certas quantidades. - Além disso é apenas devido à falta de consciência sobre a característica do que constitui o interesse da análise superior e que produziu a necessidade e a descoberta do cálculo diferencial de que as funções de primeiro grau, tais como a equação da linha reta, eles foram aceitos por eles no tratamento deste cálculo. Além disso, tem sua parte em tal formalismo é um erro, que consiste em acreditar que a exigência é satisfeita, em si correta, da generalização de um método, pelos seguintes meios: deixar de lado a determinação específica em que a necessidade é baseada, de modo que é como se neste campo se tratasse apenas de grandezas variáveis em geral. Teria salvado muito formalismo nas considerações sobre esses objetos, se tivesse sido observado que isso não competia com as magnitudes variáveis como tal, mas a determinações de potências.
Mas ainda há outro grau, onde o infinito matemático é apresentado em sua característica particular. Em uma equação onde x e y são, antes de tudo, determinados por uma relação de potência, deve x e y, como tal, ainda têm o significado de quantidade; agora, esse significado está estragado completamente nas chamadas diferenças infinitamente pequenas; dx, dy não são mais quantos, eles não deveriam ter esse significado, mas eles têm um significado apenas em seu relacionamento, eles têm um significado como momentos. Não são mais algo, se o algo é considerado quanto, não são diferenças finitas; mas eles também não são nada, nem o zero é falta de determinação. Fora de sua diferença são zeros puros, mas eles devem ser tomados apenas como momentos da relação, como determinações do coeficiente diferencial dy/dx.
Neste conceito de infinito o quanto é verdadeiramente acabado e convertido em uma existência qualitativa é definido como realmente infinito; é superado não só como isto ou aquilo, mas como quanto em geral. Mas a determinação quantitativa, como um elemento de quantidade, permanece como princípio, isto é, como também foi dito, permanece em seu primeiro conceito. Contra este conceito é dirigido todo o ataque que foi feito contra a determinação fundamental da matemática deste infinito, isto é, do cálculo diferencial e integral. Representações incorretas dos próprios matemáticos provocaram o fato de que este [conceito] não foi reconhecido; mas acima de tudo é responsável por esses desafios à incapacidade de justificar o objeto como um conceito. Mas a matemática, como foi lembrado antes, não pode evitar o conceito aqui; porque, como uma matemática do infinito, não sei os limites para a determinação finita de seus objetos - assim como na matemática pura, espaço e número e suas determinações são consideradas e mutuamente relacionadas apenas de acordo com sua finitude; mas transforma uma determinação tomada a partir daí e tratada por ele, em uma identidade com seu oposto, como, por exemplo, quando converte uma linha curva em uma linha, o círculo em um polígono, etc. As operações que a matemática é permitida como cálculo diferencial e integral, portanto contradiz totalmente a natureza das determinações puramente finitas e suas relações, e, portanto, teriam sua justificativa somente no conceito.
Quando a matemática do infinito estabeleceu que essas determinações quantitativas sejam magnitudes evanescente, isto é, tal que eles não são mais um quanto, mas também não são nada, mas ainda são uma determinação contra a de outra, então nada parecia mais claro do que isso, que não há estado intermediário (como era chamado) semelhante entre o ser e o nada. - O que tens de pensar sobre essa objeção e do chamado estado intermediário, já foi mostrado acima quando se fala da categoria de devir. A unidade do ser e do nada não é um estado; um estado seria uma determinação de ser e nada, onde esses momentos devem ser encontrados apenas de certa maneira acidentalmente, mais ou menos como em uma doença ou afeição externa, por meio de pensamentos errados; no entanto isso significa unidade, ou também tornar-se, são apenas a sua verdade.
O que é infinito, dizia-se, não é comparável [com o outro] como maior ou menor. Não poderia, portanto, ser dada uma relação do infinito ao infinito de acordo com ordens ou hierarquias do infinito, como diversidades das diferenças infinitas que surgem em sua ciência. –Nesta objeção já mencionado, é sempre baseado na representação de que aqui devemos lidar com quantos, comparar quantos; e que as determinações que não são mais quantidades, não têm mais relação entre elas. Mas em vez disso, o que é apenas em relação, não é um quanto; o quanto é uma determinação de modo que ele deve ter uma existência perfeitamente indiferente fora de seu relacionamento, e para o qual sua diferença em relação um ao outro; pelo contrário, o qualitativo é apenas o que é em sua diferença em relação a outro. Portanto, não apenas essas infinitas magnitudes são comparáveis, mas elas existem apenas como momentos de comparação, isto é, do relacionamento. Vou argumentar das decisões mais importantes que ocorreram em matemática sobre o infinito; será evidenciado de tal forma que o pensamento da coisa, correspondente ao conceito, está na sua base desenvolvida aqui, mas que seus autores não o examinaram completamente como um conceito, e na aplicação eles novamente precisaram voltar a expedientes que contradizem seus melhores assuntos. O pensamento não pode ser determinado com mais precisão do que o que Newton lhe deu. Separado dele as determinações que pertencem à representação do movimento e da velocidade (a partir do qual Newton tomou especialmente o nome de fluxões), porque o pensamento não é mostrado neles estão em abstração conveniente, mas em forma concreta, misturada com formas não essenciais. Esses fluxões de Newton os esclarecem (Princ. Matem, Philos. L. Lema XL Schol.) dizendo que não entende como indivisível - que é a forma utilizada pelos matemáticos anteriores, Cavalieri(3) e outros, que contém o conceito de um quanto específico em si, mas como divisível evanescente. [Diz] também [que ele entende] não adições e relações de certas partes, mas limites de adições e relacionamentos. Podes objetar que grandezas evanescentes não têm relação final, porque o relacionamento, antes de desaparecer, não é o último, e quando eles desapareceram não há relacionamento. Mas [diz Newton] que a razão de magnitudes evanescentes deve entender a relação não antes de as magnitudes desaparecem, nem mais tarde, mas que com que eles desaparecem (quacum evanescunt). Igualmente a primeira relação das magnitudes que nascem é aquele com o qual eles nascem.
De acordo com a situação do método científico da época, era necessário apenas esclarecer o que deveria ser expresso, mas isso tem que ser entendido com ela, isto ou aquilo, é precisamente uma demanda subjetiva ou também uma exigência histórica, por meio da qual não é mostrado que um dado conceito é em si necessário e ter uma verdade intrínseca. No entanto, o que foi alegado mostra que o conceito estabelecido por Newton corresponde à maneira pela qual a magnitude infinita foi apresentada na declaração anterior, na base para a reflexão do próprio quanto. Aqueles que são entendidos lá são magnitudes em seu desaparecimento, isto é, o que não são mais quantos. Além disso, as relações de certas partes não são compreendidas, mas os limites do relacionamento desta forma, as quantidades têm que desaparecer por si mesmos, ou seja, os termos do relacionamento, bem como o relacionamento em seu caráter de quanto. O limite da rapidez de magnitudes é aquela em que esta [relação] existe e não existe - e isso significa mais exatamente, a partir do quanto desapareceu e, portanto, a relação é preservada apenas como uma relação qualitativa de quantidade, e os termos dela também são preservados como momentos qualitativos de quantidade. - Agrega Newton que pelo fato de que as últimas relações de magnitudes evanescentes são dadas, não deve ser concluído que as últimas magnitudes são dadas, isto é, indivisíveis. Este seria precisamente novamente um salto da relação abstrata em relação a termos tais, que devem ter um valor para si, fora do seu relacionamento, como indivisível, isto é, como algo que deveria ser uma falta de relacionamento.
Contra essa má interpretação, Newton lembra que as relações mais recentes não são relações das últimas magnitudes, mas limites aos quais as relações de grandezas que diminuem sem os limites estão mais próximos do que qualquer diferença, isto é, finitos; cujos limites, no entanto, não superam a ponto de se tornarem nada. - Com o nome da última magnitude eles poderiam precisamente entender, como dito, os indivisíveis ou os únicos. Mas ao determinar o relacionamento final, a representação do indiferente, do não relacionado, assim como do finito.
Mas não teria sido necessário nem diminuir sem limite, em que Newton transfere o quanto, e que expressa apenas progresso ao infinito, nem a determinação da divisibilidade, que aqui não tem mais significado imediato, se a determinação exigida tivesse sido desenvolvida até o conceito de determinação de magnitude, que é pura e apenas um momento da relação.
Com relação à conservação da relação no desaparecimento das quantidades, encontra-se - em outra parte, como em Carnot(4), Reflexitions sur la a Métaphysique du calcul Infinitesimal - a expressão que, devido à lei de constância, as grandezas evanescentes ainda mantêm a relação a partir da qual nascem, antes desaparecer -Essa representação expressa a verdadeira natureza da coisa, dado que a continuidade que o quanto tem no progresso infinito [e que consiste em] que em seu desaparecimento continua de tal maneira que em seu além surge novamente apenas um quanto finito, um novo membro da série. Mas um progresso constante é sempre representado para que os valores que ainda são pequenos sejam percorridos finito. Por outro lado, nessa transferência que ocorre no infinito verdadeiro, a relação é a constante; é tão constante e muito permanece, o que consiste apenas nisso, que destaca o relacionamento puro e faz desaparecer a determinação ausente da relação - é para dizer que pelo qual um quanto, que é um termo do relacionamento, mesmo quando colocado fora dessa relação, ainda é um quanto. - Esta depuração do relacionamento quantitativo é, portanto, nada mais do que [acontece] quando uma existência empírica é concebida. Esta existência é então elevada acima de si mesma, de modo que seu conceito contém mesmas determinações de si mesma, mas concebidas em sua essencialidade e na unidade do conceito, onde ele perdeu sua subsistência indiferente, desprovido de qualquer conceito.
Igualmente interessante é a outra forma de exposição newtoniana das grandezas em questão, que vale digamos, como gerando quantidades ou princípios. Uma quantidade gerada é um produto ou um quociente, ou raízes, retângulos, quadrados ou também lados de retângulos e quadrados - em geral, uma magnitude finita. "Considerada esta variável, como é no seu movimento contínuo e fluxo de aumento ou diminuição, ele entende então seus aumentos ou decrementos momentâneos com o nome de momentos. Mas estes não devem ser tomados como partículas de certa magnitude (particulae finitae). Estes não são momentos em si, mas magnitudes geradas pelos momentos; em vez disso, o que deve ser entendido são os princípios que se tornam, ou o começo de grandezas finitas". - O quanto é aqui diferenciado em relação a si mesmo, como é o produto ou a existência, e como está em sua evolução, em seu começo e princípio, isto é, como está em seu conceito, ou - o que é o mesmo aqui - em sua determinação qualitativa. No segundo, as diferenças quantitativas, os incrementos e decréscimos infinitos, não são mais do que momentos; só o que foi transcendido na indiferença da existência e da exterioridade vale quanto. Mas se estas determinações do infinito, alegadas com respeito aos incrementos e decrementos, deve ser reconhecido pela filosofia do verdadeiro conceito, então devemos observar também imediatamente que as mesmas formas de incrementos, etc., caem dentro da categoria de quanto imediato e do mencionado avanço contínuo; e que sim as representações do aumento, acréscimo de x para dx ou i, etc., tem que ser considerado como o vício fundamental nos métodos atuais, isto é, como o obstáculo permanente que impede a extração da representação do quanto ordinário, determinação pura do momento qualitativo da quantidade.
Diante das alegadas determinações, a representação das magnitudes infinitamente pequenas permanece muito atrás, que também é introduzido no mesmo aumento ou diminuição. De acordo com isso [a representação] das supramencionados [magnitudes] devem ser de tal constituição, que merecem ser negligenciados não somente eles mesmos contra magnitudes finitas, mas também suas ordens superiores contra as inferiores, ou também os produtos que resultam de uma pluralidade deles em oposição a um. Em Leibniz se destaca a maneira mais óbvia é a exigência desse descuido, cujos inventores também introduzem antecedentes de métodos relacionados a essas magnitudes [infinitesimais]. Isto é [requisito] especialmente o que dá ao cálculo, juntamente com a vantagem do conforto, a aparência de imprecisão e, mais especificamente, a de imprecisão no modo de sua operação. Wolff tentou torná-lo inteligível, de acordo com sua maneira de transformar coisas populares, isto é, tornar o conceito impuro e colocar em seu lugar representações imprecisas sensíveis. Isto é, compara à negligência das diferenças infinitas de ordens superiores comparadas com as inferiores, com o procedimento de um geômetra, que não teria sido menos exato na medida da altura de uma montanha se, entretanto, o vento tiver retirado um grão de areia do topo; ou no cálculo dos eclipses da Lua, negligenciando a altura das casas ou torres (Element Mathes. univ. tom I. O Analys, matemática, P. II, c. I, s. Schol.) Se o consentimento do intelecto humano comum permitir tal imprecisão, por outro lado, Geometras rejeitaram essa representação. Ela se impõe [a consideração de] que na ciência da matemática não é totalmente e absolutamente uma questão de tal precisão empírica; e que a medida matemática que é preenchido por operações de cálculo ou por construções e demonstrações da geometria é diferente em um todo do levantamento ou medição de linhas e figuras empíricas, etc. Além disso, as análises, como mencionado acima, mostram comparando o resultado é alcançado pelo procedimento geométrico rigoroso e que é alcançado de acordo com o método de diferenças infinitas, que um é o mesmo que o outro, e que não há total e absolutamente mais um e menos de precisão. E ele entende por si mesmo que um resultado absolutamente exato não poderia sair um procedimento que era impreciso. No entanto, por sua vez e por outro lado, o procedimento em si, não pode dispensar esse descuido [dos infinitesimais], sobre a base de sua falta de importância. - Apesar dos protestos contra o alegado caminho da justificação. E esta é a dificuldade em torno da qual os esforços da análise são invertidos, a fim de tornar a contradição encontrada nesse sentido e afastá-la. A este respeito, a representação de Euler(5) deve ser referida em particular. definição newtoniana universal, insiste que o cálculo diferencial considera as relações dos aumentos de uma magnitude, mas a diferença infinitesimal como tal tem que ser considerada absolutamente como zero (Calc. instituição diferente, P. 1. c.III). Como isso tem que ser entendido, é [manifestado] no precedente; a diferença infinitesimal é um zero apenas do quanto, não um zero qualitativo, mas como o zero do quanto é um momento puramente único da relação. Não é uma diferença sobre uma magnitude mas por esse motivo é geralmente incorreto, por um lado, expressar esses momentos, que chamam infinitamente pequenas, também como incrementos e decrementos e como diferenças. No fundo desta determinação é [o pensamento de] que na magnitude finita, presente no começo, algo a adicionar ou subtrair a partir dele, ou seja, fazer uma subtração ou adição, esta é uma operação aritmética, extrínseca. Mas tem que ser considerado que a transferência da função da magnitude variável ao seu diferencial é de natureza completamente diferente, vale dizer que, conforme explicado, considerado como uma redução da função finita à relação qualitativa de suas determinações quantitativas. -Por outro lado, o lado errado salta aos olhos [que é apresentado] quando se diz que os incrementos por si são zero e que apenas o seu relacionamento para um zero não tem mais determinação em geral. Esta representação, portanto, chega sem dúvida até o negativo do quantum e o expressa de um modo determinado, mas não captura ao mesmo tempo este negativo em seu significado positivo de determinações qualitativas de quantidade, que seriam apenas zeros se queria levá-los como rasgado do relacionamento e quantos. Lagrange(6) (Théorie des fonct .Analyt .Introd.) em torno da representação dos limites ou relações últimas, ajuiza que, embora se possa representar perfeitamente a relação de duas magnitudes até que elas permaneçam finitas, essa relação, no entanto, não oferece ao intelecto qualquer conceito claro e determinado, logo que os seus termos voltem para zero ao mesmo tempo. De fato, o intelecto deve superar esse lado puramente negativo, que os membros da relação são zeros como quantidades, e concebendo-os positivamente, como momentos qualitativos. - Mas nem pode Euler (ob. cit., § 84 e segs.) adicionar algo satisfatório também com relação à determinação dada, para mostrar que duas chamadas magnitudes infinitamente pequenas, que não deve ser outra coisa senão zeros, no entanto, têm uma relação entre eles e que nem é o sinal de zero usado para eles, mas outros sinais. Ele quer basear nisso a distinção entre relacionamento aritmético e geométrico. Nesse nós atendemos à diferença para quociente embora a primeira [relação aritmética] entre dois zeros seja a mesma, não é assim, por causa disso, a relação geométrica. Se 2: 1 = 0: 0, então, devido à natureza da razão, desde a primeira prazo tem um dobro da magnitude do segundo, também o terceiro termo deve ter o dobro do quarto; 0: 0 deve, de acordo com a proporção, ser considerado como a proporção de 2: 1. Mesmo de acordo com a Aritmética ordinária, se for n: 0 = 0, é também n: 1 = 0: 0. No entanto, precisa por esta razão, que 2: 1 ou n: 1 é uma razão de quantidade, não tem uma relação ou uma notação de 0:0.
Abstenho-me de multiplicar as citações, porque as que já foram consideradas mostraram o suficiente são certamente o verdadeiro conceito do infinito, mas isso não foi destacado e entendido em sua determinação. Portanto, quando tu avanças para a operação em si, não pode acontecer que a verdadeira determinação do conceito se torna válida nele. Ele logo retorna para mostrar a determinação finita de quantidade, e a operação não pode prescindir da representação da [magnitude] apenas relativamente pequena. O cálculo torna necessário submeter às chamadas magnitudes infinitesimais às operações aritméticas comuns de adição, etc., que são baseadas na natureza das grandezas finitas e, assim, afirmar por um momento como magnitudes finitas e tratá-los como tal. O cálculo teria que ser justificado no seguinte sentido, que por um lado diminui estas [magnitudes] nesta esfera [de magnitudes finitas] e tratá-las como incrementos ou diferenças, e para outra parte os negligenciar como muitos, logo depois de ter aplicado as formas e leis das magnitudes finitas.
Sobre as tentativas dos geômetras para remover essas dificuldades, também me refiro ao mais importante. As análises mais antigas tinham menos escrúpulos sobre isso; mas os esforços dos mais recentes voltaram especialmente para o fim de levar o cálculo infinitesimal de volta à evidência do método verdadeiramente geométrico e conseguir nele - de acordo com as expressões de Lagrange - o rigor de demonstrações dos antigos em matemática. No entanto, como o princípio da análise infinitesimal é de natureza superior ao princípio da matemática das magnitudes finitas, o primeiro renunciar imediatamente a esse tipo de evidência por si só, assim como filosofia não pode afirmar qualquer alegação com respeito à clareza das ciências da sensata, por exemplo, a história natural - assim como comer e beber - valem mais trabalho inteligível pensar e conceber. Portanto, será apenas um esforço para alcançar o rigor das demonstrações dos antigos. Vários tentaram dispensar o conceito de infinito e conseguir sem ele o que parecia ligado ao uso do. - Lagrange, por exemplo, fala sobre o método que Landen(7) inventou e diz que é puramente analítico e que não usa as infinitamente pequenas diferenças, mas introduz primeiro, diferentes valores das grandezas variáveis e para depois compará-los. Por outro lado, julga que desta forma as vantagens do cálculo diferencial, a simplicidade do método e a facilidade das operações, eles estão perdidos. Este é, sem dúvida, um procedimento que tem algo correspondente àquele de onde deriva o método das tangentes de Descartes, que terá que ser mencionado ainda mais para frente. Pode-se observar aqui que o seguinte é imediatamente claro universalmente, que o procedimento em geral, consistindo em tomar valores diferentes das quantidades variáveis e compará-los, pertence a uma esfera do tratado matemático diferente daquela do método de cálculo diferencial; e essa propriedade não é realçada - o que terá então de ser explicado mais precisamente da relação simples, para a qual a determinação real e concreta do mesmo cálculo é reduzida, isto é, a relação da função derivada com a original. Os mais antigos entre os modernos, como Fermat(8), Barrow(9) e outros, que foram servidos primeiro do infinitamente pequeno naquela aplicação, que foi então desenvolvido até o cálculo diferencial e integral, e depois também Leibniz e o seguinte, incluindo Euler, sempre acreditaram francamente, eles precisavam omitir os produtos das diferenças infinitesimais, assim como tensões mais altas, apenas pela razão de que elas desaparecem relativamente na frente da ordem inferior. Nisso repousa, em suas obras, a proposição fundamental, isto é, a determinação do que ser o diferencial de um produto ou de uma potência, porque a isso toda a doutrina teórica é reduzida. O resto é em parte um mecanismo de desenvolvimento, mas parcialmente [também] uma aplicação, onde no entanto - que deve ser tratado mais tarde, na verdade, o maior ou o único interesse cai. - No que diz respeito a presente questão, devemos mencionar aqui apenas a parte elementar, ou seja, razão idêntica para a falta de importância, admite-se, em relação às curvas, que os elementos das curvas, isto é, os incrementos da abscissa e da ordenada, têm entre eles a relação da subtangente e da ordenada. E para obter triângulos semelhantes, é considerado como uma linha reta, isso é como uma parte da tangente, o arco que constitui o terceiro lado de um triângulo, juntos com os dois incrementos do que já foi chamado de triângulo característico; e desta maneira considera-se que um dos incrementos atinge a tangente. A aceitação desses pressupostos levanta, por um lado, aquelas determinações acima da natureza das magnitudes finitas; mas por outro lado, um procedimento que só é válido é aplicado aos momentos agora chamados infinitos, por magnitudes finitas, e dentro das quais não há nada que deva ser negligenciado do ponto de vista de sua falta de importância. A dificuldade pela qual o método é oprimido permanece tal procedimento com toda a sua força.
Aqui temos que nos referir a um procedimento notável de Newton (Princ. Math. Phil. nat. Lib. II .Lemma II, após a proposta. VII) -esta é a descoberta de um artifício inteligente para pôr de lado, no encontrar os diferenciais, a omissão aritmeticamente injustificada dos produtos das diferenças infinitas ou suas ordens superiores. Newton encontra a diferencial do produto, a partir do qual é então deduzido as diferenciais dos quocientes, as potências, etc. -Do seguinte caminho, o produto, quando x, y são tomados cada um com menos da metade de sua infinita diferença, ele passa para x y - x dy / 2 - y dx / 2 + dx dy/ 4; mas quando eles são aumentados x e y do mesmo [o produto passa] em x y + x d y / 2 + y d x / 2 + dxdy / 4. Pois bem, subtraindo o primeiro produto deste segundo, ele permanece como um remanescente e dx + xdy, e isso seria a adição do acréscimo para um inteiro dx e dy, pois os dois produtos diferem acréscimo; este é, portanto, o diferencial de xy. É evidente que neste procedimento desaparece por si só o membro que constitui a principal dificuldade, ou seja, o produto das duas diferenças infinitas, dxdy. Mas, apesar do nome de Newton, deve ser permitido dizer que semelhante operação, embora muito elementar, está incorreta. É impreciso dizer que (x + dx / 2) (y + dy / 2) - (x-dx / 2) (y-dy / 2) = (x + dx) (y + dy) -xy.
Somente a necessidade de substanciar o cálculo das fluxões em sua importância poderia ser aqui Ele pegou um Newton a ponto de se iludir sobre tal demonstração. Outras formas, que Newton usou na derivação do diferencial, estão ligadas aos significados do elementos e seus poderes que são concretos e referentes ao movimento. -No emprego da forma de série, que por outro lado, distingue o seu método, é fácil dizer que tem sempre em seu poder, por meio da agregação de membros subsequentes, tomando uma magnitude tão precisa quanto necessário, e que os membros omitidos são relativamente insignificantes e, em geral, o resultado é apenas uma aproximação. [É tão fácil] como [dizer] que aqui também ele [Newton] não teria ficado satisfeito com esta fundamento, assim como faz no seu método de resolver as equações de grau mais elevado por meio de aproximação [onde] omite, com base na base bruta de sua pequenez, as potências superiores, que surgem na equação dada, substituindo cada valor encontrado, ainda impreciso (ver Lagrange, Équations numériques, p. 125). O erro em que Newton caiu em sua resolução de um problema por meio da omissão de potências superiores, e que ofereceu aos seus adversários a oportunidade de fazer o próprio método triunfar sobre o newtoniano, e cuja verdadeira origem mostrou Lagrange em sua pesquisa mais recente (Théorie des fonct. analitic. 3me. P., Ch. 1V), demonstra a natureza formal e a insegurança de que ainda havia emprego desse instrumento. Lagrange mostra que Newton caiu em tal erro porque ele desprezou esse membro da série que continha a potência, de onde, nesse problema particular, a questão dependia. Newton tinha mantido nesse princípio formal superficial de omitir membros como resultado de sua relativa pequenez. Sabe-se exatamente que na mecânica é dada aos membros da série, em que a função de um movimento, certo significado, de modo que o primeiro membro ou a primeira função refere-se ao momento da velocidade, o segundo a força aceleradora e o terceiro à resistência de forças. Os membros da série, portanto, não devem ser considerados aqui como partes de uma soma, mas como momentos qualitativos de uma totalidade do conceito. Portanto, a omissão dos membros restantes, que pertencem à série do mau infinito, mantêm um significado completamente diferente com relação à omissão deles com base em sua relativa pequenez(10). A solução newtoniana manteve esse erro, não porque não levou em conta alguns membros do série, como partes de uma soma, mas porque não levou em conta o membro que contém a determinação qualitativa da qual o assunto depende.
Neste exemplo, o sentido qualitativo é aquele em que o procedimento depende. Em conexão com isso, a afirmação geral de que toda a dificuldade do princípio seria anulada, se - em vez do formalismo que coloca a determinação da diferencial apenas no problema que lhe dá o nome, isto é, no problema da diferença em geral entre um funcionar e sua variação, após sua magnitude variável, recebeu um aumento - o significado qualitativo do princípio e daqui a operação dependeria. Nesse sentido, a diferencial de xª é completamente esgotado pelo primeiro membro da série que é apresentado através do desenvolvimento de (x + dx) ª. O fato de os outros membros não serem levados em conta, não vem de sua pequenez. Não se pressupõe aí uma imprecisão, uma falta ou um erro, que é posteriormente compensado e retificado por outro erro - que é o ponto de vista a partir do qual o método comum de cálculo infinitesimal é justificado por Carnot. Embora não seja uma adição, mas um relacionamento, a diferencial é perfeitamente encontrado por meio do primeiro termo; e onde eles são necessários outros termos, que são as diferenciais das ordens superiores, então há, na sua determinação, na continuação de uma serie como adição, senão a repetição de uma única e mesma relação, que somente se quer e portanto encontra-se já acabada no primeiro membro. A necessidade da forma de uma serie, e do somar dela, e o que se vincula com isto , tem pois que ser separado por completo daquele interesse da relação. As explicações dadas por Carnot sobre o método das grandezas infinitas contêm o mais depurado e o mais claramente exposto que se ofereceu nas representações mencionadas acima. Contudo, na passagem à operação em si, intervêm mais ou menos as representações comuns da infinita pequenez dos membros desprezados face o restante. Ele [Carnot] justifica o método pelo fato de que os resultados são exatos, e pela utilidade que tem, para a simplificação e abreviação do cálculo, a introdução das equações incompletas, como ele as chama — quer dizer tais que nelas ocorreu semelhante desprezo, aritmeticamente incorreto—, entretanto, mais via da natureza da coisa. É sabido que Lagrange voltou a aceitar o método original de Newton — o método das séries— a fim de livrar-se das dificuldades que traz a representação do infinitamente pequeno, como também daquelas trazidas pelo método das primeiras e últimas relações e limites. Acerca de seu cálculo das funciones —cujas vantagens com relação à precisão, abstração e universalidade são, por outro lado, reconhecidas em medida suficiente — é preciso citar como pertinente ao assunto em pauta somente isto, que repousa na proposição fundamental: que a diferença pode ser tomada tão pequena, sem que se converta em zero, que cada membro da serie supere em grandeza a soma de todos os seguintes.— Se começa também neste método pelas categorias do aumento e da diferença da função, cuja magnitude variável recebe o aumento (ou incremento) da função originaria — e com isto se introduz a série. Do mesmo modo a seguir os membros da série que tem que ser desprezados chegam a considerar-se somente no aspecto de que constituem uma soma, e o fundamento para desprezá-los se encontra posto no valor relativo de seu quanto. O desprezo portanto tampouco aqui se reduz por sua universalidade ao ponto de vista que se apresenta, por um lado, em mais aplicações particulares, onde (como se recordou anteriormente) os membros da série devem ter um significado qualitativo determinado, e certos membros se desprezam não porque sejam insignificantes enquanto a sua grandeza, mas porque são insignificantes com relação à qualidade. Porém, por outro lado, o próprio desprezo se encontra descuidado no ponto de vista essencial, que, para o chamado coeficiente diferencial, se acha destacado em Lagrange de maneira determinada tão somente na chamada aplicação do cálculo. O qual será explicado de maneira mais detalhada na nota a seguir.
O caráter qualitativo em geral, que aqui, na forma da grandeza considerada, foi indicado no que se chama neste caso de infinitamente pequeno, se encontra da maneira mais imediata na categoria do limite da relação, que já foi mencionada acima, e cuja efetuação do cálculo foi selada como um método particular. Enquanto ao juízo de Lagrange acerca deste método— vale dizer, que lhe falta facilidade na aplicação e que a expressão: limite não oferece ideia determinada — queremos aqui considerar sua segunda parte e ver mais de perto o quê foi estabelecido sobre o significado analítico de tal palavra. Na representação do limite, precisamente, está sem dúvida à mencionada categoria verdadeira da determinação qualitativa da relação das magnitudes variáveis; pois as formas que se introduzem delas, dx e dy, devem tomar-se em absoluto somente como momentos dx/ dy, e também deve considerar-se como um único sinal indivisível. Aqui temos que por de um lado o fato de que ande de tal modo perdida para o mecanismo do cálculo, especialmente em sua aplicação, a vantagem que ele extrai da circunstancia que os lados do coeficiente diferencial se encontrem separados um do outro. Aquele limite deve agora ser limite de uma dada função — deve declarar em relação a esta função certo valor que se determina por meio da maneira da derivação. Com a simples categoria do limite, contudo, não estaríamos mais adiantados com o que discutimos nesta nota, isto é, mostrar que o infinitamente pequeno, que se apresenta no cálculo diferencial como dx e dy, não tem puramente o sentido negativo e vazio de uma grandeza não finita, não dada —como quando se diz: "uma multidão infinita", "e assim sucessivamente até o infinito", e expressões parecidas—, mas que tem o sentido determinado da determinação qualitativa do quantitativo, ou seja de um momento de relação enquanto tal. Esta categoria entretanto, não tem ainda nenhuma relação com o que é uma dada função, e não intervêm por si na maneira de tratar tal função e no emprego que tenha que se fazer nela daquela determinação; deste modo não chegaria a nada tampouco a representação do limite, detida nesta determinação indicada sobre ela. Porém a expressão "limite" contem nela mesma o que [o limite] seja limite de algo, isto é, que expresse certo valor, que está na função da grandeza variável; e é necessário ver de que natureza é para ela este concreto comportamento. —Deve ser o limite da relação que tem entre eles os dois incrementos, para os quais se admitiram como precedendo no aumento as duas grandezas variáveis que se encontram vinculadas em uma equação, das quais uma se considera como em função da outra. O aumento se toma aqui em geral de modo indeterminado e por isto não se faz uso do infinitamente pequeno. Porém em seguida o procedimento para encontrar este limite traz aqui as mesmas inconsequências que se encontram nos demais métodos. Este procedimento é precisamente o seguinte. Se é x=fx/2 então fx, quando y transpassa em y+k , deve trocar-se por em fx + ph2 + qh2 + rh 3, etc., portanto é k = p h = q h2, etc., e k / h = p + q h + rh , etc. Pois bem: se k e h desaparecem, então desaparece o segundo membro, exceto p, cujo p será agora o limite da relação dos dois incrementos. Vê-se que h, como quanto, se encontra posto =0, porém que k/h não deve em consequência ser a seguir igual =0 /0 mas que deve ainda permanecer como uma relação. A vantagem de evitar a inconsequência que se encontra aqui, tem que ser assegurada agora pela representação do limite; p deve ser também não a relação eficaz, que seria 0/0 mas somente o valor determinado ao qual a relação pode aproximar-se infinitamente, isto é, de maneira tal que a diferença possa ser menor que qualquer [diferencial] dada. Será examinado mais adiante o sentido mais determinado da aproximação, com relação ao que precisamente deve aproximar-se de maneira mútua. — Porém o que uma diferença quantitativa, que tem a determinação não somente de poder mas de dever ser menor que qualquer diferença dada, não seja mais uma diferença quantitativa, isto é evidente, e tão evidente quanto possa ser qualquer proposição na matemática. Porém com isto não se saiu mais além de d y / dx=0/0. Se por outro lado se toma dy/dx= p, isto é, como uma determinada relação quantitativa, tal como ocorre, então vem a inversa a cair na dificuldade da pressuposição que pôs h=0, que é a pressuposição por cujo meio somente se encontrou que k/h=p . Porém se admitimos que seja k/h=0 , e se é h=0 será portanto também k = 0; pois o incremento k para y tem lugar somente na condição de que o incremento seja h —.então deveríamos perguntar que deve, pois, ser p, que é um valor quantitativo perfeitamente determinado. Aqui se apresenta a seguir por si a resposta, simples e árida, que [p] é um coeficiente e que surgiu de tal derivação —a qual seria a primeira função de uma função original, derivada de certa maneira determinada. Se alguém se desse por satisfeito com isto, tal como Lagrange em relação a substancia, então a parte geral da ciência do cálculo diferencial e imediatamente esta mesma única forma que se chama a teoria do limite, seria liberta dos incrementos, depois de sua pequenez infinita ou [tomada] ao arbítrio, e da dificuldade de voltar a suprimir, com exceção do primeiro membro ou mais ainda somente do coeficiente do primeiro membro, os termos posteriores de uma série, como aqueles que se encontram nela de maneira inevitável por meio da introdução daqueles incrementos. Além disso, entretanto, seria [tal teoria] purificada também do demais que está em ligação com isto, quer dizer, sobretudo das categorias formais do infinito, e da aproximação infinita, e das posteriores categorias (igualmente vazias aqui) da grandeza continua(11), e as que de outra maneira foram consideradas necessárias, como se esforçando, tornando-se, a ocasião de uma mudança. Mas então exigiria que fosse indicado que significado e valor - significa qual conexão e uso para subsequentes necessidades matemáticas ainda tem p, fora da determinação árida, o suficiente de uma forma perfeita para a teoria, que nada mais é do que uma função derivada do desenvolvimento de um binômio. Disso irá tratar a segunda nota. Mas antes de tudo, aqui tu ainda deves seguir a explicação da confusão, que foi introduzido pelo emprego mencionado (tão comum nas exposições) da representação da abordagem, na compreensão da própria determinação, ou qualitativa, da relação, que antes de mais nada tinha que ser tratada. Foi demonstrado que as chamadas diferenças infinitas expressam o desaparecimento dos lados da relação como quantos, e que o que resta é a sua relação de quantidade pura, desde que seja determinado em um qualitativo. O relacionamento qualitativo aqui é tão pouco perdido que é aquele que resulta precisamente por meio da transformação de magnitudes finitas em infinitas. É assim que foi toda a natureza da coisa. – Desta forma, aparecem, na última relação, por exemplo, as quantidades da abscissa e da ordenada; mas os lados desta relação continuam a existir essencialmente, um como elemento da ordenada, o outro como elemento da abscissa. Enquanto o modo de representação é usado, aproxima-se infinitamente de uma ordenada ao outro, então a ordenada anteriormente distinta passa para a outra ordenada e a abscissa transferidas anteriormente diferentes para as outras abscissas; mas essencialmente não ultrapassa a ordenada para a abscissa ou a abscissa para a ordenada. O elemento constituído pela ordenada, para permanecer neste exemplo de grandezas variáveis, não tem que ser considerado como uma diferença de uma ordenada em relação à outra ordenada, ao contrário, é como a diferença ou a determinação qualitativa de magnitude versus o elemento constituído pela abscissa; o princípio de magnitude variável contra o do outro consiste na relação mútua. A diferença, já que não é mais uma diferença de grandezas finitas, deixou de ser um múltiplo dentro de si mesma; desmoronou na simples intensidade, isto é, na determinação de um momento qualitativa do relacionamento versus o outro. Mas esta constituição da coisa é obscurecida pelo fato de que o que tinha sido recentemente chamado elemento, por exemplo, da ordenada, é concebido como diferença ou incremento, de modo que é apenas a diferença entre o quanto de uma ordenada e o quanto de outra ordenada. Portanto, o limite não tem aqui o significado do relacionamento; vale apenas como último valor, para o qual outra magnitude da mesma espécie e aproxima constantemente, de modo que pode diferir dele tão pouco quanto se queira, e que o último relacionamento é um relacionamento igual. Desta forma, a diferença infinita é o equilíbrio de uma diferença de um quanto em relação a outro quanto, e a natureza qualitativa, segundo a qual dx é essencialmente uma determinação de relacionamento, não face de x, mas de dy, retorna na representação. Deixa-se desaparecer dx² na frente de dx, mas ainda muito mais desaparece dx em face de x; o que realmente significa que tem apenas um relacionamento com dy. -Existem nessas exibições sempre muito trabalho para os geômetras, especialmente para tornar concebível a aproximação de uma magnitude ao seu limite, e ficar ligado a este lado da diferença da quantidade em relação ao quanto, como é, o que não é uma diferença, e ainda é uma diferença. Mas a abordagem é, no entanto, por si só uma categoria que não diz nada e nada faz concebível; dx já tem a abordagem depois de si mesma, não é perto nem mais perto; e infinitamente próximo significa por si só a negação de estar perto e se aproximando.
Agora, como aconteceu desta forma, os incrementos ou as infinitas diferenças foram considerado apenas pelo lado do quanto que desaparece neles, e apenas como limites do quanto, eles são concebidos dessa maneira como momentos sem relacionamento. Daqui a representação prosseguiria. É inadmissível que seja permitido colocar como iguais entre eles, na última relação, por exemplo, a abcissa e ordenada, ou também o seno, o cosseno, a tangente, o inverso seno, e até todo o resto. -Essa representação parece, acima de tudo, predominar quando se trata de um arco como [se fosse] uma tangente; também o arco é certamente incomensurável com a linha reta, e seu elemento é antes de tudo outra qualidade que o elemento da linha reta. Parece ainda mais absurdo e inadmissível do que a troca entre abcissa, ordenada, inverso do seno, cosseno, etc., quando [eles são trocados] quadrata rotundis, isto é, quando uma parte, embora infinitamente pequena, de um arco por um segmento da tangente, e é, portanto, tratado como uma linha reta. - No entanto, este modo de lidar deve ser essencialmente diferente da troca censurada; ela tem sua justificativa nisto: que no triângulo que tem o elemento de um arco e lados os elementos da sua abscissa e da ordenada, a relação é a mesma como se aquele elemento do arco fosse o elemento de uma linha reta, isto é, da tangente; eles são os mesmos os ângulos que constituem a relação essencial, isto é, o que permanece nestes elementos se é abstraído das magnitudes finitas que eles pertencem. - É possível também expressar-se a esse respeito dizendo que as linhas retas, infinitamente pequenas, transferidas das linhas curvas, e que a relação deles em seu infinito é uma relação de curvas. Como a reta, de acordo com sua definição, é o caminho mais curto entre dois pontos, sua diferença no que diz respeito à linha curva é baseada na determinação da multidão, na menor multidão do distinguível.
Desta forma, que, portanto, é uma determinação de um quanto. Mas essa determinação desaparece nesta [linha] considerada como uma magnitude intensiva, como um momento infinito ou como um elemento; e desta sua diferença também desaparece em relação à linha curva, que se baseia puramente na diferença do quanto. Portanto, como infinita, a linha reta e o arco não retêm nenhuma relação quantitativa e, portanto, de acordo com a definição aceita, eles não preservam mais qualquer diferença qualitativa entre si, mas sim, vai além disso.
Semelhante e, no entanto, ao mesmo tempo diferente da equalização de determinações heterogêneas, é a afirmação, por si só indeterminada e em tudo indiferente, que as partes infinitamente pequenas do mesmo todo são mutuamente a mesma. Entretanto, aplicado a um objeto heterogêneo, isto é, a um objeto afetado por um desigualdade essencial da determinação da magnitude, gera a confusão particular que é contidos na proposição da mecânica superior, que em tempos iguais, e pelo modo infinitamente pequenas partes infinitamente pequenas de uma curva são percorridas em um movimento uniforme. [Existe uma desordem], desde que isto seja afirmado sobre um movimento em que, em partes iguais em tempo finito, isto é, partes finitas existentes, finitas, isto é, partes desiguais da curva são atravessadas; isso é, então tanto que se afirma de um movimento que, como existente, é desigual e como tal é tomado. Esta proposição aqui é a expressão em palavras do que um membro analítico que é apresentado no desenvolvimento, também citado acima, da fórmula de um movimento desigual, mas também de acordo com a lei. Os matemáticos do passado tentaram expressar em palavras e proposições os resultados do cálculo infinitesimal recém-descoberto, e que por outro lado estava sempre lidando com objetos concretos, e tentou expô-los em formas geométricas, essencialmente, a fim de usá-los para teoremas de acordo com a maneira usual de demonstração. Os membros de uma fórmula matemática, em que o tratamento analítico é decompor a magnitude do objeto, por exemplo de movimento, adquiriu um significado objetivo ali, exemplo de velocidade, força aceleradora, etc.; e eles deveriam, de acordo com esse significado, dar posições exatas, leis físicas, e de acordo com sua conexão analítica, suas ligações e relações objetivas; por exemplo, que em um movimento uniformemente acelerado há uma velocidade particular proporcional aos tempos, mas que também vem sempre ser adicionado um aumento vindo da força da gravidade. Tais proposições são aceitas na forma analítica moderna da mecânica absolutamente como resultados de cálculo, sem se preocupar com o problema de saber se eles têm em si um sentido real, isto é, tal que uma existência lhes corresponde, ou para dar uma demonstração de um tal sentido. A dificuldade de tornar inteligível a conexão de tais determinações, quando tomadas no sentido real, por exemplo, a transferência dessa velocidade simplesmente uniforme para um valor uniformemente acelerado é como se fosse totalmente superado pelo tratamento analítico, enquanto essa conexão é uma consequência simples da autoridade, agora firme, das operações de cálculo. É apresentado como um triunfo da ciência para encontrar através do cálculo puro, além da experiência, leis ou princípios de existência, que não existem. Mas no primeiro e ainda tempos ingênuos do cálculo infinitesimal, tinha que ser declarado um sentido real em si daquelas determinações e proposições, representadas em formas geométricas, tiveram que ser plausíveis, e essas [determinações e proposições] nesse sentido devem ser aplicadas para a demonstração da proposições fundamentais que tinham que ser tratadas (ver a prova newtoniana da proposição fundamental da teoria da gravitação em Princ. mathem philosophiae naturalis, lib. 1, cap. II prop. I, em comparação com a astronomia de Schubert(12) primeira ed., T. III § 20, onde é admitido que a coisa não seja exatamente assim, então no ponto nervoso da demonstração, não se comporta como Newton supõe). Não se pode negar que neste campo muito foi permitido passar como uma demonstração, especialmente com a ajuda da névoa do infinitamente pequeno, sem outra fundamento que o seguinte: o que acontece que era sempre conhecido anteriormente, e a demonstração, dirigida de tal forma que isso resultaria, ele conseguiu fazer pelo menos a aparência de um quadro de teste - uma aparência que, no entanto, sempre preferiu fé simples ou conhecer pela experiência. Mas não sinto nenhuma hesitação em considerar desta forma, apenas um mero jogo de conjuração e um charlatanismo demonstrar, e para incluir neste ainda certas demonstrações de Newton, e especialmente a pertinente ao recém-mencionado, pelo qual Newton foi elevado aos céus e acima de Kepler, por expor matematicamente o que que ele havia encontrado apenas por experiência.
A estrutura vazia de tal demonstração foi levantada para demonstrar leis físicas. Mas a matemática em geral, não tem capacidade para demonstrar as determinações de magnitude da física, desde que trata de leis baseadas na natureza qualitativa dos momentos; pela simples razão que esta ciência não é filosofia, não procede do conceito e, portanto, do elemento qualitativo, desde que é aceito matematicamente de acordo com a experiência, está fora de sua esfera. A defesa da honra da Matemática, pela qual todas as proposições apresentadas devem ser rigorosamente demonstradas, fazia esquecer muitas vezes seus limites; Assim, parecia contrário a sua honra reconhecer para proposições experimentais simplesmente como fonte e como o único teste. Posteriormente, a consciência tornou-se mais educada sobre isso; mas antes de ter deixado clara a diferença entre o que que é demonstrável matematicamente e o que pode ser obtido apenas de outra parte, bem como entre o que é apenas membro de um desenvolvimento analítico e o que é ser existência física, o hábito não pode ser educado cientificamente para um comportamento mais rigoroso e puro. -Mas deve, sem dúvida, aquele quadro newtoniano de ainda encontrar o mesmo destino que encontrou outro edifício newtoniano artificial faltando o alicerce, construído com base em experimentos ópticos e deduções ligadas a eles. A Matemática aplicada ainda é preenchida com uma mistura de experiência e reflexão, mas também como parte após parte que a óptica há muito tempo começou a ser ignorada na ciência - no entanto, com a inconsistência de deixar o resto ainda em vigor apesar da natureza contraditória deste procedimento - por isso também é um fato que já uma parte dessas demonstrações enganosas caiu por si só em esquecimento ou foi substituído por outros.
Na nota anterior foram considerados, por um lado, a determinação conceitual do infinitamente pequeno que é utilizado no cálculo diferencial e, por outro lado, a base de sua introdução no mesmo cálculo; ambas são determinações abstratas e, portanto, também fáceis em si mesmas. Mas a chamada aplicação apresenta maiores dificuldades, assim como o aspecto mais interessante; os elementos deste aspecto concreto tem que ser o assunto desta nota. -Todo o método de cálculo diferencial está terminado na proposição de que dx nx, ou f (x + i) -fx / f '= P, isto é, é igual ao coeficiente do primeiro membro do binômio x + d, x + i, desenvolvido de acordo com as potências de dx ou de i. Não é necessário aprender mais nada. A derivação das próximas formas, do diferencial de um produto, de magnitude exponencial, etc., remove de lá mecanicamente; em pouco tempo, talvez em meia hora, podes ter toda a teoria, porque com a descoberta dos diferenciais também é dado o seu inverso, isto é, a descoberta de a função original que vem deles, isto é, integração. O que, no entanto, para mais é o cansaço de ver e tornar compreensível o seguinte: que depois de uma condição da tarefa, isto é, a descoberta desse coeficiente, foi realizada tão facilmente por meios analíticos - através do desenvolvimento da função da magnitude variável, depois de ter recebido a forma de um binômio através de um aumento - devemos também ter sua exatidão com a outra condição, isto é, com a omissão dos outros membros da série que surge fora do primeiro membro. Se fosse o caso, havia apenas a necessidade do coeficiente, então, com a determinação do mesmo, teria sido emitido tudo sobre a teoria, em menos de meia hora, como afirmado, e a omissão dos membros subsequentes da série também não seria uma dificuldade, mas não seria mais uma questão deles (não se trata deles totalmente e absolutamente) como membros da série, porque como segundo, terceiro, etc., a função, sua determinação já é feita com a determinação do primeiro.
Pode-se observar anteriormente que é visto imediatamente que o método de cálculo diferencial não foi descoberto e estabelecido por si mesmo. Não só não se baseia em si mesmo como outra forma de procedimento analítico, mas é absolutamente contrário a todos os axiomas matemáticos da violência de omitir francamente os membros que resultaram do desenvolvimento de uma função, enquanto, no entanto, é admitido que a totalidade deste desenvolvimento pertence completamente ao essencial - porque a coisa é considerada como a diferença da função desenvolvida de uma magnitude variável em relação à [função] original, depois de ter dado [magnitude variável] a forma de um binômio. A necessidade de tal maneira de proceder, bem como a falta de uma justificativa em si, mostram imediatamente que a origem e o fundamento devem ser encontradas em outro lugar. Acontece de outra forma também nas ciências, que o que é colocado desde o princípio como o princípio elementar, a partir do qual as proposições da ciência, não é óbvia, e mostra em vez disso que tem antes no que segue a sua ocasião e seu fundamento. O processo da história do cálculo diferencial mostra que o essencial tomou seu começo principalmente nos chamados diferentes métodos de tangência, quase como em truque de jogos de cartas; esse tipo de procedimento, depois de também ter sido estendido a outros objetos, foi então trazido à consciência e expresso em fórmulas abstratas, que agora tentamos levantar também cedo.
Como determinação conceitual da chamada infinitamente pequena, a determinação qualitativa foi indicada de quantidade daqueles que em primeiro lugar são postos em relação recíproca como quantidade; com o qual ele estava ligado pesquisa empírica [que consiste em] mostrar que a determinação conceitual nas descrições ou definições que são encontradas sobre o infinitamente pequeno, na medida em que é tomado como diferença infinita ou algo similar. -Isso aconteceu apenas no interesse da determinação conceitual abstrata como tal; o problema adicional seria [determinar] como a partir disso [da determinação conceitual] o trânsito para a forma matemática e aplicação seria fornecido. Para tanto, ainda é necessário propor em primeiro lugar, a consideração do aspecto teórico, a determinação do conceito, que se mostrará não é totalmente malsucedido; então devemos considerar a relação do conceito com a aplicação e mostrar em ambos, de modo que é aqui, que as conclusões universais correspondem tanto ao objeto a ser tratado no cálculo diferencial e o modo como esse cálculo é realizado. Em primeiro lugar, devemos lembrar que a forma, que tem na matemática a determinação conceitual em questão, já foi atribuído ocasionalmente. A determinação qualitativa do quantitativo foi demonstrada em primeiro lugar na relação quantitativa em geral; mas também avançou na informação sobre as diferentes operações chamadas de aritmética (ver a respectiva nota), que a relação das potências, que ainda serão tratados posteriormente em seu próprio lugar, é aquele em que o número, por meio da equalização de seus momentos conceituais (a unidade e a quantidade) é definida como aquela que retornou a si mesma, e assim alcançou o momento do infinito, do ser-para-si, isto é, de ser determinado por si mesmo. A determinação qualitativa expressa é, portanto, referida como também recordou, essencialmente, às determinações das potências; e como o cálculo diferencial tem o caráter específico de operar com formas qualitativas de grandezas, seu objeto matemático particular deve ser para tratar as formas das potências; e todos os seus problemas e suas soluções, propósito para o qual o cálculo diferencial é usado, mostra que o interesse é apenas em lidar com as determinações de potências como tais.
Importante como esta fundamento é, e por mais que coloque algo específico na linha de frente em vez de categorias puramente formais de magnitude variável, contínua ou infinita e semelhantes, ou também funciona apenas em geral, no entanto, ainda é muito geral; outras operações que vem igualmente com ele; a elevação de potência e extração de raízes, então o gerenciamento das magnitudes exponenciais e os logaritmos, as séries, as equações de ordem superior, têm seu interesse e sua tarefa somente através de relacionamentos baseados em potências. Sem dúvida, eles devem constituir como um todo, um sistema de tratados de potencias; mas, de qualquer forma, entre as diferentes relações nas quais determinações exponenciais podem ser feitas, o que representa o objeto em si o interesse pelo cálculo diferencial, este deve ser extraído deste mesmo [cálculo], isto é, das chamadas aplicações. Estas são, de fato, a coisa essencial, o procedimento efetivo na solução matemática de certa esfera de problemas. Este procedimento existia antes da teoria ou da parte geral, e então tem sido chamado de aplicação apenas em relação à teoria criada subsequentemente, que queria estabelecer o método universal do procedimento, mas oferecem parte dos princípios, isto é, uma justificativa. Foi mostrado na nota anterior como o trabalho malsucedido tem sido encontrar, para o presente conceber o procedimento, princípios que efetivamente resolvem a contradição que há para a vista, em vez de desculpá-lo ou escondê-lo apenas por meio da falta de importância do que, de acordo com o procedimento matemático é necessário, mas aqui deve ser omitido, ou por meio da possibilidade (que leva ao mesmo resultado) da aproximação infinita ou aproximação à arbitragem, e outros pretextos semelhantes. Quando o aspecto universal do procedimento poderia ser abstraído, de uma maneira diferente do que aconteceu até agora, da parte real da matemática chamada cálculo diferencial, então esses princípios e o trabalho dedicado a eles, também seriam mostrados como supérfluos, como se mostram algo distorcido e que permanece enredado na contradição. Se investigarmos esse elemento peculiar [do procedimento] simplesmente aceitando o que é apresentado nesta parte da matemática, então encontramos como objeto:
α) equações, onde uma quantidade arbitrária de magnitudes (geralmente podemos parar aqui em duas) está preso em um conjunto de determinações, de modo que, antes de mais nada, eles têm sua determinação em magnitudes empíricas como limites firmes, e depois no modo de conexão com aqueles, assim como sua conexão recíproca, como em geral, é o caso de uma equação. Mas como apresenta apenas uma única equação para as duas magnitudes - e também, sem dúvida, mais equações para mais magnitudes, mas sempre menos do que a quantidade das magnitudes - estas equações pertencem à [categoria de] indeterminadas. E em segundo lugar, outro rosto segundo o qual essas magnitudes têm sua determinação aqui, é que elas (ou pelo menos uma delas) são apresentadas na equação [superior] a uma potência superior à primeira. A este respeito, algumas observações devem ser feitas de antemão; primeiro de tudo que as magnitudes, de acordo com a primeira das alegadas determinações, elas têm caráter absoluto e apenas o caráter de tal grandezas variáveis, como aparecem nos problemas de análise indeterminada. Seu valor é indeterminado, mas de tal maneira que quando para o um intervém de outra parte qualquer valor completamente determinado, ou seja, um valor numérico, o outro também é determinado, e, portanto, o que é uma função do outro. As categorias de grandezas variáveis, funções e similares, são, portanto, para a determinação específica de magnitudes, que é aqui em questão, apenas categorias formais, como disse antes, porque eles são de uma universalidade em que esse elemento específico, para o qual todo o interesse do calculo diferencial é dirigido ainda não está contido, nem pode ser explicado a partir daí pela análise São simples, insignificantes, fáceis determinações dificultadas apenas por terem de colocar nelas para poder então extraí-las, o que não está neles, isto é, o conclusão específica do cálculo diferencial. -Com relação à chamada constante, pode a ser observado sobre eles que em primeiro lugar é como uma magnitude empírica indiferente, determinante somente para as grandezas variáveis com relação a sua quantidade empírica, como limite de seu mínimo e máximo; mas o tipo de conexão de constantes com magnitudes variáveis é em si um dos momentos para a natureza da função particular que essas magnitudes representam. Por outro lado, também as constantes são funções próprias. Enquanto isso, por exemplo, uma linha reta tem a sensação de ser o parâmetro de uma parábola, essa sua noção é que é a função y² / x; bem como, no desenvolvimento binomial em geral, a constante que é o coeficiente do primeiro membro do desenvolvimento, é a soma do raízes, o segundo é a soma dos produtos deles dois a dois, etc.; portanto as constantes estão aqui em funções gerais das raízes. Onde a constante, no cálculo integral, é encontrada determinado pela fórmula dada, é tratado a este respeito como uma função disso. Aqueles coeficientes serão então considerados posteriormente em outra determinação como funções, cujo significado está em concreto que, aonde todo o interesse vai.
Mas agora a coisa certa, pelo que significa a consideração das grandezas variáveis difere no cálculo diferencial em relação à natureza dos mesmos nos problemas indeterminados, tem que ser colocado em exposição, isto é, que pelo menos uma dessas grandezas ou todas elas estejam em poder maior do que o primeiro, onde se torna indiferente novamente se o todo é composto de potencias mais elevadas ou mesmo em desiguais. A indeterminação específica que estas [potencias] tem aqui, consiste somente em que em tal relação de potencia são funções uma da outra. Portanto a variação das grandezas variáveis se encontra determinada de modo qualitativo, e daí continuo; e esta continuidade — que por si é em geral somente a categoria formal de uma identidade, de uma determinação que se conserva na variação e permanece igual—, tem aqui seu sentido determinado, e sem dúvida somente na relação de potencias, como a que não tem por seu exponente nenhum quanto e constitui a determinação não quantitativa, permanente da relação das grandezas variáveis. Portanto há que se fazer contra outro formalismo, a observação que a primeira potencia é somente potencia na relação com uma [potencia] maior, por si x é somente certo quanto indeterminado. Assim não tem sentido o diferenciar por si a equação y= ax +b, da linha reta, o ainda s=ct da velocidade simplesmente uniforme. Se a partir de y = a x , ou também d e y = a x + b r e s u l t a a = d y / d x ou ainda, a partir de s=ct resulta ds/dt=c, então também a = y / x é a determinação da tangente, ou ainda s/t=c é a da simples velocidade. Esta última se encontra exposta como dy/dx em ligação com o que se acha dado para o desenvolvimento do movimento uniformemente acelerado; mas que um momento de velocidade simples, puramente uniforme —isto é, não determinado pela potencia superior de um dos momentos do movimento— se apresente no sistema deste movimento, é evidente por si, como antes se observou, uma hipótese vazia, fundamentada somente na rotina do método. Se o método parte da representação do aumento que deve sofrer a grandeza variável, pode, certamente, sofrer um aumento também de uma magnitude tal, que seja somente uma função da primeira potencia; agora pois, se depois disto, para encontrar a diferencial, se deve tomar a diferencia entre a segunda equação que surgiu deste modo e a equação dada, então se mostra o vazio da operação, que consiste, segundo observou, a equação, antes e depois de tal operação, é a mesma tanto para os chamados aumentos como para as grandezas variáveis.
β) Pelo que se disse se encontra determinada a natureza da equação que é preciso tratar; e necessário declarar agora para qual interesse se encontra dirigido o trato dela. Esta consideração pode somente dar resultados conhecidos, como os que se apresentam especialmente em relação a formula na maneira de ver de Lagrange. Mas dispus a exposição de modo tão completamente elementar, a fim de afastar as determinações heterogêneas que se misturam. —Como base do manejo da equação da espécie assinalada, se mostra que a potencia está concebida no interior de si como uma relação, ou seja, como um sistema de determinações relativas. A potencia foi indicada acima como o número, enquanto chegou ao ponto que sua variação está determinada por si, e que seus momentos, unidade e total, são idênticos —tal como se mostrou anteriormente, de maneira completa, sobretudo no quadrado, e de maneira mais formal (o qual não significa aqui qualquer diferença) nas potencias superiores. Pois bem, a potencia, posto que como número— e se preferir a expressão grandeza como mais universal, também esta é sempre em si o número — é uma multidão, mesmo exposta como soma, pode sobretudo ser dividida em seu interior em uma multidão de números à vontade, os quais estão sem qualquer outra determinação entre eles e face a sua soma, fora de ser somente em seu conjunto iguais a esta [soma]. Mas a potencia pode também ser decomposta em uma soma de tais diferentes, que sejam determinados pela forma da potencia.
Tornando-se a potencia em soma, então também seu número fundamental, a raiz, se concebe como soma, e isto à vontade segundo uma decomposição múltipla, cuja multiplicidade contudo é o indiferente quantitativo empírico. A soma que deve ser representada pela raiz, reduzida a sua simples determinação, isto é, a sua verdadeira universalidade, é o binômio; todo aumento posterior de seus membros é uma pura repetição da mesma determinação e portanto algo vazio. O ponto que importa pertence somente ao formalismo dessa universalidade, necessariamente pretendido pela análise, se em vez de girar (a+b)n para o desenvolvimento dos potências, diz-se (a + b + c + d) n, como também é feito em muitos outros casos. Tal forma tem de ser considerado (por assim dizer) apenas como uma coqueteria da aparência da universalidade. No binômio, o essencial está esgotado; através do desenvolvimento dele, a lei é encontrada, e a lei é a verdadeira universalidade, e não é a repetição extrínseca e apenas vazia da lei, que é produzido apenas por meio de a + b + c + d...
Portanto, consiste apenas na determinação qualitativa dos membros, que é apresentada por meio do realce da raiz tomado como uma soma, cuja determinação é apenas na variação que constitui a impulsionar Esses membros estão, portanto, em todas as funções de fortalecimento e poder. Pois bem, essa apresentação do número como a soma de uma multidão de tais membros, que são funções exponenciais e, em seguida, o interesse em encontrar a forma de tais funções e, além disso, esta soma da multiplicidade de tais membros, uma vez que esta constatação deve depender apenas dessa forma, tudo isso constitui notoriamente a doutrina particular da série. Mas aqui temos de distinguir essencialmente o interesse posterior, que reside precisamente na relação entre as próprias grandezas que constituem a base - cuja determinação, porque é um complexo, isto é, aqui, uma equação, inclui em si uma potência - e as funções de sua potência. Essa relação, fazendo abstração total da chamada soma, será mostrado como o único ponto de vista proposto pelo cálculo diferencial e que é fundada na ciência real. No entanto, é necessário acrescentar previamente uma determinação ao que já foi dito, ou melhor, deixar de lado aquele que está lá. Foi dito precisamente que a grandeza variável, em cuja determinação a potência, foi considerada em si como uma soma e precisamente como um membro do sistema, porque estas são funções de capacitação; em que também a raiz é deve considerar como uma soma e, da maneira determinada simplesmente, como um binômio: xn =(y+z)n=(y + n y n - ¹ z + ...). A somatória de uma somatória, como tal, para o desenvolvimento da potência, isto é, para alcançar suas funções de potenciação; no entanto, aqui não tem a ver com uma soma como tal, ou com a série que nasce dela, mas devemos capturar apenas a relação da soma. O relacionamento como tal entre as magnitudes é o que por um lado permanece, depois que foi abstraído do mais de uma soma como tal, e o que por outro lado é necessário para encontrar as funções de desenvolvimento da potência. Mas tal relacionamento já é determinado pelo fato de que aqui o objeto é uma equação, e que ym = axn também já é um complexo de múltiplas magnitudes (variáveis), contendo uma determinação de potências. Neste complexo, cada uma dessas grandezas é colocada francamente como em relação à outra com o significado (poderia ser dito) de um mais em si - como uma função de as outras magnitudes; seu caráter, que consiste em ser funções reciprocamente, dá-lhes essa determinação de mais, mas precisamente com isso de algo totalmente indeterminado, não de um aumento, ou outros semelhantes. Contudo, poderíamos também deixar de lado esse ponto de vista abstrato; é possível parar inteiramente e simplesmente nisso, já que as grandezas variáveis são dadas na equação como funções de outro, de modo que esta determinação contém uma lista de potências, agora eles também comparam as funções de potenciação de cada uma das segundas funções que não são absolutamente determinadas por nada mais do que a própria potência. Pode primeiro aparecer como arbitrário ou uma possibilidade de colocar uma equação dos potências de suas grandezas variáveis baseado em uma relação de suas funções de desenvolvimento; apenas um propósito posterior, um utilitário ou um trabalho eles têm que atribuir a vantagem de tal transformação; só por causa de sua utilidade tem causado a mudança. Quando anteriormente, a exposição dessas determinações foi tomada como ponto de partida a potenciação em uma magnitude que foi tomada como uma soma em si diferente, então, por um lado, servia apenas para declarar quais espécies tais funções eram, por outro lado, o caminho que havia para contê-los. Nós nos encontramos, com isso, no desenvolvimento analítico ordinário, que para o propósito do cálculo diferencial é conceber de modo que a grandeza variável é um dado aumento, dx, isto é, em seguida, se explica a potência do binômio por meio da série de membros que pertencem a ela. Mas o chamado aumento não precisa ser um quanto, mas apenas uma forma cujo valor total consiste em servir como uma ajuda para o desenvolvimento. O que se quer - de acordo com a mais determinada confissão de Euler e Lagrange e na representação acima mencionada do limite - consiste apenas nas determinações potenciais das magnitudes das variáveis que são apresentadas, os chamados coeficientes justamente do aumento das potências destes últimos, segundo os quais a série aos quais pertencem os diferentes coeficientes. Pode-se observar que, dado que que só por causa do desenvolvimento é um aumento assumido que carece de quanto, seria mais apropriado levar este fim a 1 (o um), porque sempre aparece no desenvolvimento apenas como um fator, e precisamente o fator um cumpre a sua tarefa, que não é necessário colocar qualquer determinação e variação quantitativa. Por outro lado, dx, com a falsa representação de uma diferença quantitativa, e outros sinais como i afetado pela aparência de universalidade que aqui é inútil, eles sempre olham e sentem pretensão de um quanto e suas potências; cuja alegação certamente traz consigo o dever de não removê-los do meio e despreza-os. Para preservar a forma de uma série desenvolvida de acordo com as potências, seria igualmente bom adicionar algumas das cifras dos expoentes como índices. Mas, no entanto, a abstração deve ser feita da sede e as determinações dos coeficientes de acordo com o lugar que eles têm na sede. A relação entre todos é a mesma; a segunda função é derivada primeira completamente idêntica a como derivada do original; e para a função que é calculada como um segundo, a primeira derivada, por sua vez, representa a função originada.
Mas essencialmente o interesse não leva à série, mas apenas e totalmente à determinação da potencia, que resulta do desenvolvimento em seu relacionamento com a magnitude que é imediata para ela. Portanto, em vez de determinar isso como um coeficiente do primeiro membro do desenvolvimento, e desde que um membro é designado como o primeiro em relação aos outros que continuam na série, enquanto aqui não corresponde nem pode como tal a potência de um aumento nem a própria série - deve-se preferir a simples expressão "função potencial derivada", ou, como foi dito [da] função da ampliação da magnitude; com o que é pressuposto como conhecido o caminho em que a derivação é tomada como um desenvolvimento dentro de uma potência.
Agora, se o início matemático em si nesta parte da análise não é nada mais do que o achado da função determinada pelo desenvolvimento da potência, então o problema subsequente consiste em [determinar] o que [a coisa] tem que começar com a relação assim alcançada, onde está o relacionamento tem uma aplicação e um trabalho, isto é, com efeito, para que finalidade tais funções são procuradas. O cálculo diferencial alcançou seu grande interesse por meio da descoberta, em objetos concretos, de relações que se permitem reduzir a esses relacionamentos analíticos abstratos. Mas sobre a possibilidade de aplicação, resulta imediatamente da natureza da coisa e por si só o seguinte, sem deduzi-lo dos casos da mesma aplicação, mas devido à forma como mencionado dos momentos das potências. O desenvolvimento de magnitudes potenciais, para as quais significam as funções de sua potenciação, contém, em geral e acima de tudo, abstração de determinação mais precisa, a redução da magnitude para a próxima potência mais baixa. A aplicabilidade desta operação é verificada, então, em tais objetos, onde há uma diferença de determinações potenciais. Se refletirmos agora sobre a determinação espacial, então descobrimos que contém as três dimensões que nós, a fim de distingui-las das diferenças de altura abstratas, comprimento e amplitude, podemos indicar como as dimensões do concreto, ou seja, a linha, a superfície e o espaço total, e na medida em que estas são tomadas nas suas formas mais simples e em relação à sua autodeterminação e, portanto, às suas dimensões analíticas, temos a linha reta, a superfície plana e essa mesma [superfície] como quadrado e cubo. A linha reta tem um quanto empírico, mas com o plano é introduzido o aspecto qualitativo, a terminação potencial podemos sair sem discutir as modificações mais particulares, por exemplo, que isso também acontece com curvas planas, como é tratado de antemão da diferença puramente em geral. Com isso também nasce a necessidade de passar de uma determinação de potencia maior do que uma menor e vice-versa, enquanto, por exemplo, determinações devem ser derivadas lineares de equações dadas da superfície, etc., ou vice-versa. Além do movimento, assim onde a relação de magnitude do espaço viajado e o tempo correspondente deve ser considerado decorrido, é mostrado nas diferentes determinações de um movimento puramente uniforme, de um uniformemente acelerado e de um que é alternadamente uniformemente acelerado e uniformemente atrasado, isto é, um movimento que retorna a si mesmo. Na medida em que essas diferentes espécies de movimento são expressos de acordo com a razão de magnitude de seus momentos, isto é, de espaço e tempo, apresentar para eles equações de diferentes determinações potenciais; e enquanto existe a necessidade de determinar um tipo de movimento ou também grandezas espaciais, de uma espécie está ligada, de outra espécie do mesmo movimento, a operação traz consigo também a transferência de uma função potencial para uma superior ou inferior. -Os exemplos [dados] desses dois objetos podem ser suficientes para o propósito para o qual foram aduzidos.
O aparecimento de acidentes que o cálculo diferencial apresenta em suas aplicações, seria simplificada por meio da conscientização sobre a natureza dos campos onde a aplicação pode ser realizado, e sobre a necessidade e condição particular desta aplicação. Mas agora também importa dentro destes mesmos campos, saber entre que partes do objeto do problema matemático é verificado tal relação, como é precisamente pelo cálculo diferencial. È preciso observar também, por agora que dois tipos de relacionamentos devem ser considerados aqui. A operação da depreciação de uma equação, considerada de acordo com as funções derivadas de suas grandezas variáveis, dá um resultado que em si não é mais uma equação verdadeira, mas um relacionamento; e essa relação é o objeto do próprio cálculo diferencial. Precisamente por isso também é apresentado, em segundo lugar, a relação maior determinação de potencial (a da equação original) à mais baixa (a da equação derivada). Este segundo relacionamento nós temos que deixar isto aqui de lado; mas nos mostrará mais tarde como o objeto particular do cálculo integral.
Considere primeiro o primeiro relacionamento e proponha para a determinação do momento onde está o interesse da operação - determinação que deve ser extraída do chamado exemplo mais simples, [consistindo] de curvas que são determinadas por uma equação do segundo grau. Sabe-se que, por meio da equação, a relação as coordenadas em uma determinação potencial. A partir da determinação fundamental são consequências das determinações das outras linhas retas ligadas às coordenadas, a tangente, a cotangente, a normal, etc. Mas as equações, entre essas linhas e as coordenadas, são equações lineares; todos, do que essas linhas são determinadas como partes, são triângulos retos de linhas retas. O trânsito da equação fundamental, que contém a determinação da potencia, para essas equações lineares, agora contém o trânsito mencionado da função original, isto é, o que é uma equação, em direção à derivada que é uma relação, e apenas entre certas linhas contidas na curva. A conexão entre essas linhas e a equação da curva é o que estamos tentando encontrar. Não é sem interesse, no que diz respeito à história da matéria, observar que os primeiros descobridores sabem declarar sua descoberta apenas de uma maneira absolutamente empírica, sem poder explicar a operação que foi completamente extrínseca. Fico feliz com a nomeação de Barrow; professor de Newton. Em suas lições, ótica. e geometria, onde lida com o problema da geometria superior de acordo com o método do indivisível - que se distingue sobretudo do que é próprio do cálculo diferencial-ele também declara, "porque os amigos insistiram nesta lectio X", seu procedimento para determinar a tangente. É preciso ler em seu livro como este problema é tratado, a fim de formar uma representação adequada de como o procedimento é apresentado uma regra extrínseca - no mesmo estilo que no passado em livros escolares de aritmética a regra de três ou, melhor ainda, o chamado prova dos nove para operações aritméticas. Barrow faz o desenho das pequenas linhas que foram chamadas então os incrementos no triângulo característico de uma curva e, em seguida, dá a prescrição, como uma regra simples, para rejeitar como supérfluos os membros que, como resultado do desenvolvimento das equações, aparecem como potências desses aumentos ou produtos (etenim isti termini nihilum valebunt, pois esses termos não terão nenhum valor); Da mesma forma, os membros que condenarem apenas certas quantidades devem ser rejeitados pela equação de origem (que é então subtrair a equação original da formada com os incrementos), e finalmente tem que ser substituído para o aumento da ordenada a própria ordenada, e para o aumento da abscissa a cotangente. Não se pode ( dizer se é lícito isso) apresentar um procedimento mais semelhante ao de um professor da escola. A última substituição é a hipótese de proporcionalidade dos incrementos da ordenada e da abscissa com a ordenada e a cotangente, que no método diferencial ordinário tornou-se a base para a determinação da tangente; e na Regra de Barrow esta hipótese aparece em toda a sua nudez ingênua. Ele havia encontrado uma maneira simples para determinar a cotangente; os caminhos de Roberval(13) e Fermat chegam a um resultado semelhante – e os métodos para encontrar os valores máximo e mínimo, de onde o último partiu, repousa sobre o mesmo fundamento e no mesmo procedimento. Foi uma moda matemática da época o de encontrar os chamados métodos, isto é, regras dessa espécie e ademais transforma-los em segredo; que não só era fácil, mas até mesmo necessário em certo respeito, pelo mesmo motivo porque isso foi fácil - porque os inventores haviam encontrado apenas uma regra prática extrínseca e de modo algum um método, isto é, nada deduzido de princípios reconhecidos. Quantos chamados métodos Leibniz recebeu de seu tempo, e Newton igualmente do mesmo e diretamente de seu professor. Eles, generalizando sua forma e sua aplicabilidade, abriram novos caminhos para ciência, mas tiveram ao mesmo tempo a necessidade de divulgar o procedimento sob a forma de regras extrínsecas e tentaram fornecer a justificativa necessária. Se analisarmos o método de uma maneira mais específica, o procedimento real será o seguinte: em primeiro lugar, as determinações das potencias são reduzidas às suas primeiras funções (as das magnitudes variáveis) que a equação contém. Mas com isso o valor dos membros mudou da equação; não existe mais nenhuma equação, mas apenas uma relação entre a primeira simples função de uma das grandezas variáveis e da primeira função da outra; em vez de px = y², tem p= 2y, ou então, em vez de 2ax-x2 = y², temos a-x= y, que usamos para indicar como a razão dx/xp.
A equação é a equação da curva; esta relação, que depende inteiramente dela, e é deduzida dela (cf. acima, de acordo com uma mera regra), é uma relação linear, com a qual certas linhas estão em proporção; p:2y ou a x: y são precisamente relações extraídas de linhas retas da corrente, as coordenadas e os parâmetros. Mas com isso, nada é conhecido ainda. O interesse está em saber sobre outras linhas que se apresentam na curva, se essa relação os preocupa, isto é, em encontrar a igualdade entre as duas relações. Portanto, o segundo problema consiste no seguinte: quais são as linhas retas determinadas pela natureza da curva, que estão em tal relação? -Mas isso é o que já era conhecido de antes, isto é, que tal relacionamento, alcançado por esse caminho, é a relação da ordenada com a cotangente Os antigos haviam encontrado isso através de um modo geométrico inteligente; o que os inventores modernos têm descoberto é o procedimento empírico, para preparar a equação da curva de modo que o primeiro relacionamento, sobre o qual era conhecido desde que é igual a um relacionamento contido pela linha, que aqui é o cotangente, cuja determinação é o que está em questão. Agora, por um lado, essa preparação da equação foi metodicamente concebida e realizada é a diferenciação; -Por outro lado, os incrementos imaginativos das coordenadas foram encontrados e o triângulo característico imaginado, formado a partir daqui e um aumento da tangente precisamente tal, que a proporcionalidade da relação, encontrada por meio do esgotamento da equação, com a relação da ordenada e da cotangente, será mostrada não como algo extraído apenas empiricamente de conhecimento antigo, mas como algo demonstrado. O conhecimento antigo, no entanto, se manifesta em geral, e da maneira mais óbvia, na forma acima mencionada da regra [apresentada] como a única e respectiva justificativa da aceitação do triângulo característico e dessa proporcionalidade. Agora, Lagrange rejeitou essa simulação e entrou no caminho genuinamente científico. Tem que se agradecer ao seu método pela intuição sobre onde está a dificuldade, na medida em que consiste em separar as duas passagens que precisam ser feitas para resolver o problema, e tentar demonstrar cada uma delas por si só. Uma das partes desta solução, a parte teórica ou geral, ou seja, nós paramos no exemplo do problema mais elementar, o de encontrar a cotangente, para a afirmação mais específica da maneira de encontrar a primeira função a partir do ângulo dado das curvas é regulada por si mesma. Dá uma relação linear, portanto de linhas retas, que são apresentadas no sistema de determinação das curvas. A outra parte da solução, então, é a descoberta dessas linhas na curva, que Eles estão nesse relacionamento. Isso agora é feito diretamente (Théorie des Fonct., Anal.II, P. II.), isto é, sem o triângulo característico, isto é, sem tomar arcos, ordenadas e abscissas, infinitamente pequeno, e sem dar-lhes as determinações de dy e dx, isto é, dos termos dessa relação, e [sem dar-lhes] ao mesmo tempo imediatamente o significado da igualdade de tal relacionamento com a ordenada e cotangente em si. Uma linha (bem como um ponto) tem a sua determinação apenas na medida em que constitui lado de um triângulo, como também a determinação de um ponto é apenas em um desses [triângulos]. Isso, por mencioná-lo de passagem é o princípio fundamental da geometria analítica, que postula coordenadas, como (o que é a mesma coisa) em mecânica o paralelogramo de forças, que precisamente para isso, não há necessidade de muito trabalho para sua demonstração. – A cotangente é colocada agora como o lado de um triângulo, outros lados são a ordenada e a tangente em relação a este último tem, como uma linha reta, sua equação p = aq (a adição de + b é inútil para a determinação, e é adicionado apenas por amor à generalidade). A determinação da relação p / q cai em um coeficiente de q, que é a primeira função respectiva da equação; mas, em geral, é geralmente considerado apenas como um a=p/q como foi dito, a determinação essencial da reta que, como tangente, é aplicada à curva. Agora, se então a primeira função da equação da curva é tomada [é visto que] esta é também a determinação de uma linha reta; e se depois são tomadas como a mesma das coordenadas, p, do primeira linha reta, e y, a ordenada da curva - assim, então, o ponto em que a primeira linha, tornado tangente, toca a curva, é também o ponto de partida da linha reta, determinado através da primeira função da curva - o que importa aqui é mostrar que esta segunda linha corresponde com o primeiro, isto é, é tangente. Expressa algebricamente [diga-nos] que, enquanto for y = fx e p = Fq, e enquanto y = p é tomado e, portanto, fx = Fq, também é f'x = F'q. Agora, aquele que combina com a reta aplicada como uma tangente e que outra linha reta determinada a partir da equação por meio da primeira função deste, e que o último é, portanto, tangente, isto é mostrado com aceitação subsidiária do incremento i da abscissa e do aumento da ordenada determinado pelo desenvolvimento da função. Aqui também o famoso aumento intervém; mas têm que distinguir bem como é introduzido para o propósito indicado, e o desenvolvimento da função de acordo com ele, em relação ao emprego mencionado acima, o aumento para encontrar a equação diferencial e para o triângulo característico. O uso feito aqui é justificado e necessário; e cai no campo da geometria. - Quanto à determinação geométrica de uma tangente como tal - aquela entre ela e a curva com o qual ela tem um ponto em comum, não pode passar por nenhuma outra linha reta, que também se enquadre neste ponto. Para esta determinação a qualidade da tangente ou não-tangente é reduzida à diferença de magnitude, e essa linha é a tangente em que a maior pequenez cai absolutamente, com relação a determinação em questão. Essa pequenez, que na aparência é apenas relativa, não contém nada empírico, isto é, nada que dependa de um quanto como tal; é colocado de certa forma qualitativa por meio da natureza da fórmula, quando a diferença do momento em que a magnitude que deve ser comparada, é uma diferença de potência. Como esta diferença leva a i e i², e i, que ainda deve terminar em um número, deve ser representado como um desprezível, que é em si mesmo menor do que de tal maneira que é supérfluo e absolutamente fora de lugar. representação de uma magnitude na arbitragem em que possa ser tomada. Precisamente por isso aprovada menor coisa não tem nada a ver com um infinitamente pequeno, que, portanto, não tem de entrar aqui de qualquer maneira.
Mesmo que seja apenas por causa de sua beleza e renome, agora esquecido, mas bem merecido, gostaria de ainda citar o método tangente de Descartes, já que este também tem relação com a natureza das equações, sobre as quais, então, uma observação adicional ainda precisa ser feita. Descartes expõe este método independente, onde a determinação linear requerida é encontrada igualmente da mesma função derivada, em sua Geometria que se tornou tão fértil (lib. II, p.356 e sigt. Oeuvres compl., Ed. Cousin, tom. V), enquanto ensinando em tal trabalho a grande fundação da natureza das equações e sua construção geométrica, e da análise estendida por este caminho à geometria em geral. O problema em Descartes assume a forma da tarefa de desenhar linhas retas perpendiculares a qualquer lugar em uma curva, por meio do qual a cotangente, etc. é determinada. Ele entende a satisfação que expressa sobre sua descoberta, que se refere a um objeto de interesse científico universal na época, e que é tão geométrica e, portanto, é tão alta por acima dos métodos mencionados de simples regras de seus concorrentes: "fose aire que c´est ceci le problème le plus utile et le plus général, non seulement que je sache, mais même que j'aie jamáis Miré de savoir em géométrie. "-Descartes usa a equação analítica do triângulo como base para a solução do triângulo retângulo, que é formado pela ordenada do ponto da curva em que a linha reta necessária no problema deve cair perpendicularmente, depois por esta mesma [reta], a normal e em terceiro lugar pela parte do eixo, que é cortado pela ordenada e pelo normal, isto é, pelo subnormal. Baseado na equação conhecida de uma curva, é agora substituído nessa equação do triângulo o valor seja da ordenada seja da abscissa; deste modo tem uma equação de segundo grau- e Descartes mostra como aqui mesmo as curvas, cujas equações contêm graus mais altos - onde se apresenta, ainda são reduzidas somente uma das grandezas variáveis, e precisamente no quadrado e na primeira potência - e esta é uma equação quadrática que aparece em primeiro lugar como uma equação impura. Agora Descartes faz a reflexão, que quando o ponto tomado na curva é representado como um ponto de interseção desta curva e um círculo, este círculo irá cortar a curva ainda em outro ponto, e então são apresentados para os dois x, que nascem desta e são desiguais, duas equações com a mesma constante e a mesma forma - ou, por outro lado, apenas uma equação com valores desiguais de x. Mas a equação se torna apenas um para o único triângulo em que a hipotenusa é perpendicular, normal, à curva, que é representada então os dois pontos de intersecção da curva por meio do círculo são combinados e feitos tanto que este [círculo] toca a curva. Mas com isso também desaparece a circunstância das raízes desiguais de x ou y da equação quadrática.
Mas em uma equação quadrática de duas raízes iguais ao coeficiente do membro que contém a incógnita na primeira potência é o dobro da raiz única; pois bem, isso fornece uma equação por meio da qual as determinações necessárias são encontradas. Este procedimento tem que ser considerado como a conquista genial de uma cabeça genuinamente analítica, face à qual está completamente por trás da proporcionalidade da cotangente e da ordenada admitida assim de maneira puramente assertiva com os chamados incrementos da abscissa e da ordenada; que devem ser infinitamente pequenos. A equação final, obtida da maneira indicada, e que iguala o coeficiente do segundo membro do equação quadrática com a raiz dupla ou incógnita, é a mesma que é encontrada através do procedimento do cálculo diferencial. Ao ser diferenciado x2- ax-b = 0, dá a nova equação 2 x - a =0; ou então x3-px-q=0 dá 3x2 - p = 0. Mas aqui a observação é apresentada, o que não é entendido de forma alguma por si que tal equação derivada também é precisa. Em uma equação com duas grandezas variáveis, que pelo fato de serem variáveis, não perdem seu caráter de magnitudes incógnitas, nasce, como foi considerado acima, somente um relacionamento, baseado na simples motivo indicado de que, ao substituir as funções da potenciação em vez das próprias potências, o valor de ambos os membros da equação é alterado, e por ainda é incógnita se, mesmo com tais valores alterados, uma equação ainda é verificada entre eles. A equação dy / dx = P não expressa nada mais do que isso, que P é uma relação e que o dy/dx não deve por outro lado atribuir nenhum valor real. Mas sobre essa relação = P ainda é desconhecida qual outra relação seja a mesma; tal equação, a proporcionalidade, é a única que lhe dá um valor e um significado. - Como foi dito que esse significado, que era chamado de aplicação, foi aceito, por outro lado, empiricamente, assim sobre as equações que consideramos aqui, derivadas por meio de diferenciação, deve-se saber, por outro lado, se eles têm raízes iguais, para saber se a equação obtida ainda é exata. Mas esta circunstância não é expressamente enfatizada nos tratados; é posta de lado, em vez disso porque uma equação com uma quantidade incógnita, igualada a zero, é colocada imediatamente =y, por cujo meio então, na diferenciação, dy/dx nasce, sem dúvida, apenas uma relação. O cálculo das funções tem, por certo, que lidar com funções de potenciação, ou o cálculo diferencial com diferenciais, mas a partir daí não é ainda, de modo algum, as magnitudes, cujas diferenciais ou funções de potenciação são levados, têm que ser eles mesmos só funções de outras magnitudes. Na parte teórica, onde se ensina o modo de derivação de diferenciais, isto é, as funções de potenciação, não é pensado, no entanto, ainda que as magnitudes, que são ensinadas a tratar depois de tal derivação, têm que ser, elas mesmas, funções de outras magnitudes.
Pode-se ainda destacar, no que diz respeito à omissão da constante na diferenciação, que isso tem aqui o sentido de que a constante para a determinação das raízes, no caso de sua igualdade, é indiferente, tanto tal determinação é esgotada por meio do coeficiente do segundo membro da equação. Como no exemplo citado de Descartes a constante é o mesmo quadrado da raiz, pode, portanto, ser determinado tanto a partir da constante, e dos coeficientes - como é em geral, como os coeficientes, uma função das raízes da equação. Na exposição normal, o desaparecimento das chamadas constantes, ligadas aos outros membros apenas por +y ocorre por simples mecanismo do procedimento [consistindo em] que, para encontrar a diferencial de uma expressão composta, dá apenas um aumento nas magnitudes das variáveis, e subtrai a expressão formada por este meio da expressão originada. Nenhuma palavra é dita sobre o significado das constantes e sua omissão, na medida em que elas mesmas são funções e servem ou não de acordo com essa determinação.
Com a omissão das constantes se vincula de uma observação que pode ser feita sobre nomes de diferenciação e integração, semelhante ao que já foi feito sobre as expressões de finito e infinito, isto é, que na sua determinação é antes o oposto do que a expressão enuncia. Diferenciar significa colocar diferenças; mas ao diferenciar, uma equação é reduzida a menos dimensões; através a omissão da constante é removida por um momento da determinação; e como foi observado, se as raízes da magnitude variável são colocados em uma igualdade, é superada, então, a diferença delas. Na integração, em vez disso, a constante deve ser adicionada novamente; por este meio, a equação é, sem dúvida, integrada, mas no sentido de que a diferença de raízes anteriormente superada é restaurada, e o que é posto como igual é diferenciado novamente. -A expressão usual contribui para por à sombra a natureza essencial da coisa e colocar tudo em um ponto de vista subordinado, bastante estranho para a coisa principal, [que é] por um lado o da diferença infinitamente pequena, do aumento e coisas similares, por outro lado, o da diferença simples em geral entre a função dada e a derivada, sem indicar sua diferença específica, isto é, qualitativo.
Outro campo principal, onde o cálculo diferencial é usado, é a mecânica. Foi mencionado ocasionalmente os significados das diferentes funções de potencia que são apresentadas nas equações elementares de seu objeto, que é movimento; Aqui eu vou lidar com o assunto diretamente. A equação, vale dizer, a expressão matemática do movimento simplesmente uniforme: c=s/t ou s=ct, onde os espaços percorridos são proporcionais aos tempos decorridos de acordo com uma unidade empírica c [representando] a magnitude da velocidade, não apresenta qualquer sentido de diferenciação; o coeficiente c já está completamente determinado e conhecido e nenhum desenvolvimento posterior de potências pode ser verificado. Já se lembrou de como s = at2 é analisado, que é a equação do movimento da queda. O primeiro membro da análise: ds / dt = 2at é traduzido, na linguagem e respectivamente na existência, de modo que tem que ser um membro de uma adição (cuja representação descartamos há algum tempo), ou seja, uma parte do movimento, e que ele só tem que competir com a força de inércia, isto é, a uma velocidade simplesmente uniforme, de modo que nas infinitamente pequenas partes do tempo o movimento é uniforme, mas nas partes finais do tempo, isto é, naquelas que realmente existem, falta uniformidade.
Sem dúvida é fs = 2at; e o significado de a e t é conhecido por si mesmo, como também [é conhecido] que com isto a determinação da velocidade de um movimento é ajustada. Por ser a=s/t², é em geral 2at = 2s / t; mas com isso, nada mais é conhecido; apenas a falsa hipótese de que 2at seja uma parte do movimento a partir de uma soma que dá a falsa aparência de uma proposição física. O mesmo fator a, que é a unidade empírica - um quanto como tal - é atribuída à gravidade; e se for usado a categoria da força da gravidade, tem que ser dito que precisamente todo o s=at² é o efeito ou melhor, a lei da gravidade. Igual [a isto] é a proposição derivada de ds/dt=2at, isto é, se a gravidade vai parar de agir, o corpo, com a velocidade alcançada no final de sua queda, iria viajar em um tempo igual à duração de sua queda, um espaço duplo do qual ele viajou. - ainda se acha aqui uma metafísica por si torta. O final da queda ou o fim de uma parte do tempo em que o corpo tem caído, é sempre ainda uma parte do próprio tempo; e se não fosse qualquer parte do tempo, seria então repouso, e com isto nenhuma velocidade seria admitida. A velocidade só pode ser determinada de acordo com o espaço que foi coberto em uma parte do tempo, e não no seu final. –Mas se agora uma aplicação do cálculo diferencial em campos físicos totalmente diferentes, onde não ocorre de forma alguma nenhum movimento, como por exemplo no comportamento da luz (fora do que é chamado de transmissão no espaço) e nas determinações de magnitude relativas às cores, e se mesmo aqui chamar velocidade a primeira função de uma função quadrática, então devemos considerar tudo isso como formalismo, ainda mais inadmissível, da ficção da existência.
O movimento que é representado por meio da equação s = a², encontramos, diz Lagrange, na experiência de corpos graves; o movimento mais simples, depois deste, seria aquele cuja equação foi s = ct3; mas a natureza não mostra nenhum movimento dessa espécie; e não sabemos o que é o que poderia significar o coeficiente c. Se está tudo bem, então há um movimento cuja equação é s³ = at² - que é a lei de Kepler relativa ao movimento dos corpos do sistema solar. O que deve significar aqui a primeira função derivada 2at / 3s² etc. e a maneira direta subsequente de lidar com essa equação pela diferenciação, e o desenvolvimento das leis e determinações desse movimento absoluto a partir deste ponto de partida, [tudo isso] deve aparecer como um problema muito interessante, onde a análise seria mostrada em seu brilho mais digno.
Desta forma, a aplicação do cálculo diferencial às equações elementares não oferece por si nenhum interesse real; e o interesse formal vem do mecanismo universal de cálculo. Mas manter outro significa a decomposição do movimento em relação à determinação da trajetória. Quando isto é uma curva e sua equação contém potências mais altas, são necessários trânsitos das funções retilíneas [consideradas] como funções de potenciação as próprias potências; e enquanto há que obtê-los da equação original do movimento, que contém o fator tempo, superando o tempo, devemos reduzir este [fator] para as funções inferiores de desenvolvimento, a partir do qual essas equações de determinação linear devem ser obtidas. Este aspecto leva ao interesse da outra parte do cálculo diferencial.
O [destacado] até agora teve o propósito de estabelecer a determinação simples específica para o cálculo diferencial, e apresentá-lo em alguns de seus exemplos elementares. Esta determinação mostrou que consiste no seguinte: que a partir de uma equação de funções de potência o coeficiente do membro de desenvolvimento que é a chamada primeira função é encontrado, e a relação que constitui, em momentos do objeto concreto; e que por sua equação, assim alcançados entre - dois relacionamentos, esses momentos em si são determinados. Necessário considerar também, brevemente, sobre o princípio do cálculo integral, o qual é o resultado da aplicação para sua determinação específica. O exame deste cálculo já foi simplificado e determinado mais exatamente, pelo fato de que não é já tomado como um método de adição, como tinha sido chamado em oposição para o diferencial, onde o aumento é o elemento essencial, razão pela qual ele também apareceu em conexão essencial com a forma da série. O problema deste cálculo é antes de tudo o problema [teórico] ou antes bem formal, como o [problema] do cálculo diferencial, mas é notoriamente o inverso deste. Ele parte aqui de uma função que é considerada derivada, como o coeficiente do próximo membro, originou-se do desenvolvimento de uma equação, que ainda é desconhecida; e a partir daí é preciso encontrar a função original das potências. Essa função na ordem natural do desenvolvimento deve ser considerada como originária, é derivada aqui, e aquele que foi anteriormente considerado como uma derivada é aqui a função dada ou em geral a da qual é necessário começar. Mas o elemento formal desta operação parece agora ser fornecida pelo cálculo diferencial, na medida em que é determinado em geral neste o trânsito e a relação da função originada àquela do desenvolvimento. Se neste tem recorrido por necessidade em muitos casos à forma da série, em parte para estabelecer a função de onde você tens que sair, mas em parte para fazer a transição de lá para a função original, tens de sustentar, em primeiro lugar, que esta forma, como tal, não tem nada a ver com o princípio particular do integrar.
Mas agora aparece como outra parte do problema de cálculo em relação à operação formal, a aplicação desta. Este é precisamente o problema, isto é, saber o significado, no sentido mencionado acima, que tem a função original da função dada, considerada como a primeira função de um objeto particular. Mesmo esta doutrina pode parecer como se completamente esgotado no cálculo diferencial; porém outra circunstância intervém, o que não permite que a coisa seja tão simples. Vale dizer, quando ocorreu, neste cálculo, que pela primeira função da equação de uma curva, que é uma [relação] linear, já sabemos, com isso, que a integração dessa relação dá a equação da curva na relação entre a abscissa e a ordenada. Pois bem, se a equação tivesse sido dada para o plano de uma curva, então o cálculo diferencial já deveria ter ensinado, sobre o significado da primeira função de tal equação, que esta função representa a ordenada como uma função da abscissa, e com isto a equação de curva.
Mas agora a questão é esta: qual dos momentos de determinação do objeto é dado na própria equação. Porque o tratamento analítico pode tomar o ponto de partida apenas a partir dos dados, e de lá depois passe para as outras determinações do objeto. Não é encontrado, por exemplo, dado na equação da curva se a equação de uma superfície da curva, ou talvez a do corpo gerado pela sua rotação, nem a de um arco dele, mas apenas a relação entre a abscissa e a ordenada. Trânsitos dessas determinações para essa mesma equação não podem, portanto, já ser tratadas no cálculo diferencial; é reservado para o cálculo integral [a tarefa de] encontrar tais relações. Mas também foi demonstrado que a diferenciação da equação de magnitude variável múltipla dá a potência de desenvolvimento ou o coeficiente diferencial, não como uma equação, mas como uma relação; o problema é, então, para atribuir a este relacionamento, que é a função derivada, um segundo momento entre aqueles do objeto, que é igual àquele. Pelo contrário, o objeto do cálculo integral é o próprio relacionamento entre a função original e a derivada, que deve ser dada aqui; e o problema é atribuir o significado da função original, que deve ser encontrada, no objeto da primeira função dada. Ou melhor, desde que este significado já tenha sido declarado como o problema, por exemplo, o plano de uma curva, ou a curva que deve ser retificada, representada como retilínea, etc. [este problema consiste em] mostrar que tal determinação é encontrada através de uma função original, e [mostra] qual é o momento do objeto que deve ser tomado para esse fim como função de origem da função [derivada]. Pois bem, o método ordinário, que usa a representação da diferença como a de um infinitamente pequeno, leva a coisa mais fácil para si. Para a quadratura de curvas, em seguida, tomar um retângulo infinitamente pequeno, um produto da ordenada no elemento, isto é, infinitamente pequeno da abscissa, pelo trapézio, que tem como um de seus lados o arco infinitamente pequeno, oposto àquele infinitamente pequeno da abscissa. O produto agora está integrado no sentido de que a integral tem que dar a soma dos infinitamente múltiplos trapézios, isto é, a superfície plana, a determinação é desejada, isto é, a magnitude finita daquele elemento da superfície plana. Da mesma forma, do infinitamente pequeno do arco e da ordenada e abscissa do arco correspondente a isto, forma um triângulo retângulo, onde o quadrado desse arco é igual à soma dos quadrados dos outros dois infinitamente pequeno cuja integração dá o arco como um [arco] finito. Este procedimento tem, naturalmente, uma descoberta universal, que serve como base para este campo de análise [e tem] aqui para que a quadratura da curva, o arco retificado, etc., são dadas certa função, pela equação da curva, na relação da chamada função original com a derivada. Tente, então, saber quando certa parte de um objeto matemático (por exemplo, uma relação, baseada no simples motivo indicado por meio da substituição das funções da curva) é tomada como a função derivada, e qual outra parte dela [objeto] é expressa pela função original correspondente. Sabe-se que, quando a função da ordenada, dada pela equação de a curva, é tomada como uma função derivada, a função original relativa é a expressão da magnitude da área da curva cortada por esta ordenada, e que quando tomada certa determinação tangencial como função derivada, a função original - nada dela - expressa a magnitude do arco que pertence a este determinação tangencial, etc. Mas o método que usa o infinitamente pequeno e a operação mecânica isso é feito com eles poupam [o trabalho] de conhecer e demonstrar que eles agora formam uma proporção estas duas relações [indicadas acima], a de uma função original para a derivada e a outra da magnitudes de duas partes ou circunstâncias do objeto matemático. O mérito da inteligência aguda consiste em ter descoberto, com base nos resultados já conhecidos aqui, por outro lado, que existem lados de um objeto matemático que estão na relação da função original e derivada, e [em ter determinado] o que são eles.
Destas duas funções é a derivada, ou, como foi determinado, a função de potenciação, que é dado aqui neste cálculo, relativamente e em frente ao original, como aquele que só deve ser encontrado com base no outro, através da integração. No entanto, não é dado imediatamente, nem é dado por si só, qual parte ou determinação do objeto matemático deve ser considerada como a função derivada para encontrar, através de sua redução ao original, a outra parte ou determinação cuja magnitude requer o problema. O método usual que, como foi dito, representa de uma vez como infinitamente pequeno, e na forma de funções derivadas, certas partes do objeto, que geralmente são deixadas determinar por meio de diferenciação, de acordo com a equação do objeto originalmente dado a abscissa e infinitamente pequena de modo, para a retificação de uma curva toma para este fim [partes] tais, que são permitidas colocar em conexão com o objeto do problema (o arco, no exemplo citado), que também é representado como infinitamente pequeno. [Esta conexão tem que ser tal] que é estabelecido na matemática elementar, e que, por seus meios, quando aquelas partes, também são determinados, cuja magnitude é o que deveria ser. Desta forma, os três infinitamente pequenos mencionado são encontrados para a retificação colocada na conexão da equação do triângulo retângulo; e para a quadratura a ordenada é colocada na conexão de um produto com a abscissa infinitamente pequena, enquanto uma superfície em geral é tomada aritmeticamente como produto de linhas. O trânsito deste assim chamado elemento da superfície, do arco, etc., para a magnitude da superfície, o arco, etc., em si, vale apenas como o surgimento da expressão infinita em direção ao finito, isto é, para a soma da multiplicidade infinita de elementos dos quais o magnitude necessária.
Portanto, só pode ser superficialmente dito que o cálculo integral é simplesmente o problema inverso (no entanto, em geral, mais difícil) do que o cálculo diferencial. O interesse real do cálculo integral pelo contrário, é dirigido exclusivamente para a relação entre a função original e a derivada, nos objetos concretos [considerados] em sua relação mútua. Lagrange também aprofundou essa parte do cálculo acima [o costume de] colocar de um lado, a dificuldade do problema, na maneira expedita dessas admissões diretas. Contribuirá para o esclarecimento da natureza da coisa, apresentando maiores detalhes de seu procedimento de acordo com alguns exemplos. Este procedimento propõe precisamente a tarefa de demonstrar por si só que entre determinações de um todo matemático, por exemplo, uma curva, uma relação da função original para a derivada. Mas isso não pode ser feito diretamente neste campo, devido à natureza da mesma relação, que no objeto matemático coloca em conexão linhas curvas com linhas retas, dimensões lineares e funções destes com dimensões de superfícies planas e funções delas etc., e portanto [coloca em conexão] diferenças qualitativas. A determinação, deste modo pode ser pensado apenas como o meio termo entre um maior e um menor. Com isso, sem dúvida, retorna para si a forma de um aumento com um mais e menos, e o vivacious: développons (nos desenvolvemos), está em seu lugar; mas anteriormente nós falamos sobre como os incrementos têm aqui apenas um significado aritmético e finito. Então, a partir do desenvolvimento dessa condição que a magnitude a determinar é maior que um dos limites facilmente determináveis e menor que o outro- é deduzido, exemplo, que a função da ordenada é a primeira função derivativa em relação à função da área. A retificação das curvas, conforme indicado por Lagrange, já que procede da princípio de Arquimedes, tem o interesse de intuir a tradução do método de Arquimedes no início da análise moderna, que permite direcionar um olhar para dentro e no verdadeiro sentido da operação, o que é feito mecanicamente de outra maneira. A maneira do procedimento é necessariamente análoga para o que acabamos de indicar. O princípio de Arquimedes - que o arco de uma curva é maior que seu cordão e menor que a soma de duas tangentes desenhadas nos pontos extremos do arco, contanto que estejam contidas entre esses pontos e seu ponto de intersecção - não dá nenhuma equação direta. A transferência dessa determinação fundamental de Arquimedes para a forma analítica moderna consiste na descoberta de uma expressão que é por si só uma simples equação fundamental, enquanto que a forma [de Arquimedes] estabelece apenas a exigência de avançar para o infinito entre um muito grande e um muito pequeno que determinaram em cada caso; processo que sempre dá novamente apenas um novo muito grande e um novo muito pequeno, porém em limites cada vez mais restritos. Através do formalismo de infinitamente pequeno, a equação dz² = dx² + dy2 é imediatamente colocada. A exposição de Lagrange, ao prosseguir a partir da base indicada, mostra que a magnitude do arco é a função original em relação a um derivado, cujo membro particular é em si uma função da relação de um derivado com o original da ordenada.
Como no procedimento de Arquimedes, como mais adiante no tratamento Kepleriano de objetos esferométrica, a representação do infinitamente pequeno é dada, tem sido citada muitas vezes como uma autoridade em favor do emprego que é feito desta representação no cálculo diferencial, sem destacar o que é particular e diferente. O infinitamente pequeno significa negação em primeiro lugar de quanto, como tal, isto é, de uma expressão dita finita, de completa determinação, como o quanto tem isso como tal. Também nos sucessivos e famosos métodos de Valerio(14), Cavalieri e outros, que são baseados na consideração das relações de objetos geométricos, a determinação fundamental é que o quanto, como tal, das determinações que são consideradas em primeiro lugar apenas na relação, foi reservada para este fim, e estas [determinações] devem ser tomadas, portanto, como um não-grande. Mas, por um lado, não é conhecido ou destacado com isso o elemento afirmativo geral, que é após a determinação simplesmente negativa, e que foi apresentada acima da abstração como a determinação qualitativa de magnitude, e como aquela que de forma mais determinada encontra no relacionamento em potencia. - Mas por outro lado esses [métodos] também tiveram que ser baseados na determinação geral e negativa do mesmo infinitamente pequeno e ser derivado dele, tanto essa relação [potencial] em si compreende, por sua vez, uma multiplicidade de relações determinadas com maior precisão, como a de um poder e sua função de desenvolvimento. Na exposição acima mencionada Lagrange, precisamente, mostra o determinado elemento [afirmativo] que está à maneira de desenvolvimento do problema de [Arquimedes] e com isto o justo limite foi dado ao procedimento para o qual afeta uma invasão ilimitada. A magnitude da descoberta moderna por si só e sua capacidade de resolver problemas que anteriormente não puderam ser resolvidos, e gerenciar o já viável de forma simples de solução, tem que ser colocado apenas na descoberta da relação do original para as chamadas derivadas, e das partes que em um todo matemático estão em tal relação. Compromissos feitos podem ser suficientes para enfatizar o caráter peculiar da proporção de magnitudes que é o objeto da forma especial de cálculo que está em discussão. Essas nomeações poderiam ser limitadas a problemas simples e maneiras de sua solução; e não teria sido oportuno para a determinação conceitual, que só tivemos de tratar aqui, nem teria sido na possibilidade do autor, para examinar todo o escopo da chamada aplicação de cálculo diferencial e integral, e completa, reduzindo todos os problemas e suas soluções para tal princípio, a indução de como o princípio mencionado está na base delas. Mas o principio alegado demonstrou suficientemente que, bem como todas as formas específicas de cálculo (operação) tem como objeto uma determinada determinação ou razão de grandezas, e tal condição constitui o adicionar, multiplicar, elevar a potências e extrair as raízes, o cálculo com logaritmos, as séries, etc., o mesmo acontece com o cálculo diferencial e integral. Como relevante para este cálculo pode ser o nome mais apropriada a relação entre uma função potencial e a função de seu desenvolvimento ou potenciação, porque está mais perto da intuição da natureza da coisa. No entanto, assim como elas são usadas em geral neste cálculo também as operações em conformidade com as outras relações de magnitude, como adicionar, etc., as relações logarítmicas, circulares e em série também são aplicadas, especialmente para tornar as expressões mais gerenciáveis para os propósitos das operações necessárias para deduzir funções originárias das funções de desenvolvimento. O cálculo diferencial e integral tem em comum pelo caminho com a forma dos locais de interesse mais próximo para determinar as funções de desenvolvimento que são chamados na série os coeficientes dos membros; mas enquanto nesse cálculo o interesse é direcionado apenas para a relação da função original para o coeficiente mais próximo do seu desenvolvimento, na série em vez disso é desejado apresentar uma soma na multidão dos membros ordenados de acordo com as potências fornecidas por esses coeficientes. O infinito que aparece na série infinita [e que é] a expressão indeterminada do negativo do quanto em geral, não tem nada em comum com a determinação afirmativa que é encontrada no infinito desse cálculo. Igualmente infinitamente pequeno, como o aumento, por cuja mediação o desenvolvimento recai a forma da série é apenas um meio extrínseco de desenvolvimento, e seu assim chamado infinito não tem outro significado, mas o de não ter nenhum outro [significado] absolutamente, mas de tal meio. O série, porque não é realmente o que está procurando, carrega consigo demais, cuja superação novamente constitui trabalho supérfluo. O método de Lagrange também é oprimido por este trabalho voltou a assumir preferencialmente a forma da série; embora este seja o meio pelo qual no que é chamado de aplicação destaca a verdadeira peculiaridade, na medida em que é indicado diretamente - sem introduzir força nos objetos as formas de dx, dy, etc. - a parte à qual a determinação da função pertence neles derivado (ou desenvolvimento), e assim se mostra que não é a forma da série que é discutida aqui(15).
O infinitamente pequeno do cálculo diferencial está em seu sentido afirmativo como a determinação qualitativa de magnitude e já se mostrava de maneira mais particular, sobre ela, que é apresentada neste cálculo como determinação de potência não só em geral, mas como a determinação particular da relação de uma função de poder com a potência do desenvolvimento. Mas a determinação qualitativa é ainda encontrada em uma forma posterior e, por assim dizer, mais fraca; e nesta nota ainda devemos considerar essa forma, bem como o uso do infinitamente pequeno ligado a ele, e ao significado dele em tal emprego.
Devemos lembrar em primeiro lugar a este respeito e, como procedemos do exposto acima, que as diferentes determinações potenciais surgem acima de tudo do aspecto analítico, então elas são apenas formais e totalmente homogêneas, pois significam grandezas numéricas que, como tal, não entre elas, são essa diferença qualitativa. Mas em sua aplicação a objetos especiais, o relacionamento analítico mostra totalmente em sua determinação qualitativa, como uma transição das determinações lineares para a superficial, de retilíneo a curvilíneo, etc. Esta aplicação também implica que os objetos do espaço, dados de acordo com a sua natureza sob a forma de magnitudes contínuas, são concebidos de forma descontínua, e portanto, a superfície como uma infinidade de linhas, a linha como uma multiplicidade de pontos, etc. Esta resolução tem o único interesse de determinar por si mesma os pontos sobre os quais a linha é resolvida, a linhas nas quais a superfície é resolvida, etc., para poder proceder de tal determinação em um analítica, isto é, corretamente aritmética. Estes pontos de partida são os elementos para o determinações de magnitude que devem ser encontradas, das quais devemos deduzir a função e a equação para o concreto, que é a magnitude contínua. Para problemas em que o interesse de usar este procedimento, é necessário, para o ponto de partida, algo determinado por si, em comparação com a marcha que é indireta, na medida em que pode, pelo contrário, começar apenas com limites entre os quais se encontra determinado por si mesmo, e para onde [a marcha] prossegue em direção ao seu fim. O resultado vai por ambos os métodos para a mesma conclusão, quando é possível encontrar apenas a lei da subsequente determinação progressiva, sem ser capaz de alcançar a perfeita determinação requerida, isto é, a chamada determinação finita. É atribuído a Kepler a honra de ter tido o primeiro a ideia de que a inversão da marcha, e de ter transformado o descontínuo em um ponto de partida. Sua explicação de como ele entende a primeira proposição da medição do círculo de acordo com Arquimedes, expressa de uma forma simples. A primeira proposição de Arquimedes, como é sabido, é que o círculo é igual a um triângulo retângulo em cuja base é igual ao semidiametro e a outra à circunferência do círculo. Enquanto Kepler entende o significado dessa proposição de modo que a periferia do círculo tenha tantas partes quanto pontos, ou seja, infinitamente múltiplos, dos quais cada um pode ser considerado como a base de um triângulo isósceles, etc., assim expressa a resolução do contínuo, na forma do descontínuo. A expressão do infinito que é apresentada aqui, ainda está muito longe da determinação que deve ter no cálculo diferencial. -Se foi encontrado agora uma determinação ou função para esses descontínuos, então estes também devem ser coletados juntos e essencialmente como elementos do continuo. Mas como uma soma de pontos não dá uma linha, nem uma soma de linhas dão uma superfície, os pontos já são imediatamente tomados como lineares, assim como as linhas são consideradas superficiais. No entanto, desde que aqueles lineares não devem ser ao mesmo tempo linhas, o que seria se eles foram tomados como quantos, então eles são representados como infinitamente pequeno. O descontínuo é adequado apenas para uma coleção externa, onde os momentos conservam sentido dos descontínuos; a transferência analítica deles é feita somente para a soma; não é para uma vez a transferência geométrica do ponto para a linha ou da linha para a superfície, etc.; para o elemento que tem a sua determinação como um ponto ou como uma linha, é, portanto, dada ao mesmo tempo linha para que, e a superfície para isso, e com isso a soma [dos pontos] tão pequenas linhas resultam em uma linha; [das linhas] como de pequenas superfícies resulta em uma superfície. A necessidade de alcançar este momento de transferência qualitativa e de recorrer a este infinitamente pequeno, deve ser considerado como a fonte de todas as representações que, enquanto essa dificuldade, eles são em si mesmos a dificuldade mais séria. Para tornar isso desnecessário, deve ser capaz de mostrar que no mesmo procedimento analítico, que aparece como um simples acréscimo, já é conteúdo de fato um multiplicar. Mas, a este respeito, uma nova suposição é introduzida, que constitui a base nesta aplicação de relações aritméticas a figurações geométricas; isto é, multiplicação aritmética é também para determinação geométrica uma transição para uma dimensão maior - que o multiplicação aritmética de grandezas, que segundo suas determinações espaciais são linhas, ambas ao mesmo tempo uma produção do linear no sentido de uma determinação da superfície; então 3 vezes 4 pés lineares dão 12 pés lineares, mas 3 pés lineares multiplicados por 4 pés lineares dão 12 pés superficiais, e precisamente pés quadrados, enquanto a unidade é a mesma em ambas as grandezas descontínuas. A multiplicação de linhas por linhas é apresentado acima de tudo como algo absurdo, enquanto a multiplicação se refere em geral para números, vale dizer que é uma mudança de [elementos] tal que eles são totalmente homogêneos com o [resultado] que passam, este é o produto, e eles mudam apenas sua magnitude. Pelo contrário, o que foi chamado multiplicar a linha como tal com a linha - foi chamado lineae ductus em lineam, tal como plani em planum, e também ductus puncti em lineam não é apenas uma mudança de magnitude, mas isso como determinação qualitativa da espacialidade, isto é, como dimensão. A transformação da linha na superfície tem que ser concebida como uma saída dela, como sair de si do ponto é a linha e a da superfície é um espaço total. Isto é o mesmo que representar o movimento do ponto é a linha, etc. .; mas o movimento encerra a determinação temporal, e parece assim, nessa representação, apenas como uma mudança acidental e externa da situação. Mas tem do que tomar [em consideração] a determinação conceitual, que tem sido expressa como uma saída-de-si, isto é, a mudança qualitativa, que aritmeticamente é uma multiplicação de unidade (como em ponto, etc.) na quantidade (isto é, a linha, etc.). - Pode-se observar também que na saída-de-si da superfície, que apareceria como uma multiplicação de uma superfície por uma superfície, somos apresentados à aparecem a partir de uma diferença entre a formação do produto aritmético e do geométrico, no sentido que a saída-de-si da superfície como ductus plani in plannum daria aritmeticamente uma multiplicação da determinação bidimensional por outra dessa espécie e, portanto, um produto da quatro dimensões; mas esse produto por determinação geométrica é reduzido para três. Se um lado o número, porque tem como princípio o único, dá a firme determinação para o exterior quantitativo sua produção está em igual medida formal; 3.3, tomada como determinação numérica, ao formar o produto de si mesmo 3,3 x 3,3; mas a mesma magnitude, ao formar o produto como determinação da superfície, está parado em 3.3.3, porque o espaço, representado como uma saída do ponto, ou seja, do limite apenas abstrato, tem seu verdadeiro limite, como uma determinação concreta, a partir da linha, na terceira dimensão. A diferença indicada pode ser demonstrada como eficaz em relação ao movimento livre, onde um aspecto, o espacial, está sob determinação geométrica (na lei de Kepler s³: t²), e o outro, o aspecto temporal, está sob determinação aritmética.
Pode-se agora, sem mais observações, ser evidente por si como o aspecto qualitativo considerado aqui, é diferente do objeto da nota anterior. Nela, a qualitativa estava no determinação da potência; aqui é o mesmo que o infinitamente pequeno [considerado] apenas como um fator aritmeticamente, na frente do produto, ou seja, como um ponto na frente da linha, linha na frente da superfície, etc. Agora, a transferência qualitativa que deve ser efetuada, a partir do descontínuo [considerado] como aquele em que a magnitude contínua é representada resolvida para o contínuo, é efetuado como um adicionar, mas parece que a assim chamada adição simples contém em si uma multiplicação, e assim tanto a transferência da determinação linear para a superficial; e isso parece mais simples na maneira, por exemplo, mostra que o conteúdo da superfície de um trapézio é igual ao produto da soma das duas linhas paralelas opostas pela meia altura. Esta altura é representada apenas como a quantidade de uma multiplicidade de magnitudes descontínuas, que devem ser adicionadas. Essas magnitudes são linhas que se encontram paralelas entre esses dois paralelos que as limitam; existe uma multiplicidade infinita deles, eles devem constituir a superfície; mas são linhas, que, portanto, para ser algo superficial, devem ao mesmo tempo ser colocado com negação. A fim de evitar a dificuldade que uma soma de linhas deve dar a uma superfície elas são admitidas imediatamente como superfícies, mas ao mesmo tempo como infinitamente sutil, porque eles têm sua determinação apenas no [caráter] linear dos limites paralelos do trapézio. Como paralelo e limitados pelas outras séries pares dos lados retilíneos do trapézio, podem ser representados como de uma progressão aritmética, cuja diferença é a mesma em geral, mas não precisa ser determinada, e cujo primeiro e último membro são esses dois paralelos. A soma de tal série é notoriamente o produto desses paralelos por metade do montante dos membros. O último quanto é chamado completamente e absolutamente em relação à representação da multiplicidade infinita de linhas, e é em geral a determinação da magnitude de um continuo, isto é, de altura. Claro, o que é denominada soma, é ao mesmo tempo uma linhagem ductal em linean, uma multiplicação de linear com linear e, de acordo com o determinação acima indicada, é uma onda do superficial. No caso mais simples, um retângulo ab, em geral, cada um dos dois fatores é agora uma magnitude simples; mas já no exemplo subsequente, também elementar, do trapézio, apenas um dos fatores é o simples de metade da altura e, em vez do outro é determinado por meio de uma progressão. É também linear, mas cuja determinação da magnitude é mais complicada; e como essa determinação não pode ser expressa, exceto por uma série, o interesse do ponto de vista analítico, isto é aritmética, significa somar isso. Mas o momento geométrico consiste na multiplicação, que é o aspecto qualitativo da transferência de dimensão da linha em direção à superfície; um dos fatores foi tomado descontinuamente apenas para a determinação aritmética do outro, e por si só é, como este, a magnitude linear.
O procedimento de representar superfícies como somas de linhas, no entanto, é frequentemente usado mesmo onde nenhuma multiplicação é feita como tal para alcançar o resultado.
Isso acontece onde não há questão de atribuir a magnitude como quanto na equação, mas em uma proporção. Há, por exemplo, uma maneira conhecida de mostrar que a superfície de um círculo é com relação à superfície de uma elipse, cujo eixo maior é o diâmetro desse círculo, na mesma relação qual é o maior eixo em relação ao menor, se cada uma dessas superfícies é tomada como a soma das ordenadas que pertencem a ela. Cada ordenada da elipse se relaciona com o círculo correspondente como o eixo menor com o maior: portanto, conclui-se, eles estão em tal relação mútua também as somas da ordenada, isto é, as superfícies. Aqueles que querem evitar, neste caso, a representação de superfícies como somas de linhas, converter com o expediente usual, totalmente supérfluo, a ordenada em trapézios de amplitude infinitamente pequena; e como a equação é apenas uma proporção, apenas um dos dois elementos lineares da superfície entra em comparação. O outro, o eixo das abcissas, está tomado na elipse e no círculo como iguais, portanto, como um fator de uma determinação aritmética de magnitude igual a 1; e a proporção, portanto, só se torna dependente da relação de um momento determinante. Para a representação da superfície as duas dimensões são necessárias, mas a determinação da magnitude, tais como tem de ser atribuído nessa proporção, pertence apenas a um único momento. Por isso o dobrar para a representação ou ajudá-la a adicionar a representação da soma a este momento único, é realmente uma falta de conhecimento do que é importante neste caso para a determinação matemática. O que foi explicado aqui também contém os critérios para o método acima mencionado, do indivisível de Cavalieri, que é igualmente justificado e não exige recurso do infinitamente pequeno. Esses indivisíveis são linhas quando ele considera a superfície, ou são quadrados ou superfícies circulares ao considerar uma pirâmide ou um cone, etc. A linha fundamental tomada como determinada e a superfície fundamental chama-lhes a regra; é a constante, e em relação a uma série é o primeiro ou o último membro dele; com isso, aqueles indivisíveis são considerados paralelos e, portanto, considerados em igual determinação em relação à figura. A proposta fundamental universal de Cavalieri é agora (Exerc. Geometr VI, e o trabalho subsequente: Exerc. I, página 6) o seguinte: "que todas as figuras, tanto planas e sólidas, estão na relação de todos os seus indivisíveis, e estes são comparados coletivamente, e, se uma relação comum ocorre neles, de forma distributivamente”. Este fim compara Cavalieri nas figuras constituídas de igual base e altura, as relações das linhas que são traçadas paralela à base e a igual distância dela; todas essas linhas têm uma e a mesma determinação e constituem todo o seu conteúdo. Desta forma Cavalieri demonstra, por exemplo, até que a proposição elementar, que paralelogramos de igual altura estão [entre eles] na [mesma] relação que suas bases; cada par de linhas, desenhadas à mesma distância da base e paralelas a ela, em ambas as figuras, estão na mesma relação que as bases, e portanto [são] as figuras inteiras. Na verdade, as linhas não constituem o conteúdo das figuras como contínuas, mas [constituem] seu conteúdo desde que determinado aritmeticamente; o linear é o seu elemento, através do qual apenas a sua determinação deve ser concebida.
Estamos aqui levados a refletir sobre a diferença que é verificada em relação àquela em que a determinação de uma figura cai, isto é, se é aqui constituída como a altura da figura, ou bem constitui um limite externo. No entanto é como limite exterior, é concedido que a igualdade ou bem à relação dos limites segue, por assim dizer, a continuidade da figura; por exemplo igualdade das figuras que são cobertas se baseiam nisso, que as linhas que terminam são cobertas. Mas no paralelograma de igual altura e base, somente esta última determinação representa um limite externo; e a altura (não o paralelismo em geral) sobre o qual repousa a segunda determinação fundamental das figuras, IstoÉ, sua relação, traz consigo um segundo princípio de determinação [que é adicionado] aos limites externos. A igualdade euclidiana mostra os paralelogramos que têm a mesma altura e base, a reduz a triângulos, isto é, a contínuos terminados externamente. Em demonstrando Cavalieri [fundamentado] sobretudo na proporcionalidade dos paralelogramos, o limite é geralmente a determinação da magnitude como tal, que é explicada como tomada em cada série de linhas, ao ser desenhada à mesma distância em ambas as figuras. Essas linhas iguais ou que estão na mesma relação com a base, tomadas coletivamente, dão as figuras que estão no mesmo relacionamento. A representação de um agregado de linhas vai contra a continuidade da figura; no entanto, a consideração das linhas esgota por completo a determinação em questão. Cavalieri dá uma resposta ampla à dificuldade, como se a representação do indivisível terá a obrigação de comparar de acordo com a quantidade de linhas infinitas ou superfícies (Geom., lib.II prop.I Schol.); ele estabelece corretamente a diferença [destacando] que não compara a quantidade dessas [linhas ou superfícies], que não sabemos - isto é, antes, de acordo com o observado, é uma representação vazia tomada como auxiliar - mas compara apenas a magnitude, ou seja, a determinação quantitativa como tal, que é igual ao espaço ocupado por essaslinhas.A posição que esteja no [espaço] está fechado dentro de limites, também essa magnitude está entre os limites. O continuo (ele diz) não é senão o mesmo indivisível; Se fosse algo fora disso, não seria comparável; mas seria absurdo dizer que imitações contínuas não são comparáveis entre si. Cavalieri quer distinguir o que pertence à existência externa de continuidade no que diz respeito àquele onde a determinação deste cai, e que deve ser destacada apenas para a comparação e os propósitos dos teoremas que são referidos a ele. As categorias, que Cavalieri usa a este respeito [ao declarar] que o contínuo é composto de indivisível ou consiste deles, certamente não são satisfatórias, porque são ao mesmo tempo, ele pretende [alcançar] a intuição do contínuo ou, como foi dito, sua existência externa; em vez de dizer "que o contínuo é nada mais do que os indivisíveis", seria mais preciso (e, portanto, ambos ao mesmo tempo, ainda mais claro por si só) para dizer que a determinação da magnitude do contínuo não é absolutamente diferente do que o indivisível. Cavalieri não se preocupa com a consequência ruim, que aconteçam infinitos maiores e menores, [consequência] que foi deduzida pela escola a partir da representação de acordo com que o indivisível constitui o contínuo; e também expressa (Geom., lib. VII, praef.) o mais determinado a não estar de forma alguma obrigado pela sua forma de demonstração à representação da composição do contínuo por meio de indivisíveis. Os contínuos seguem apenas a proporção de indivisível. Não tomou Cavalieri os agregados indivisíveis, como parecem cair na determinação do infinito devido a uma multidão infinita de linhas ou superfícies, mas na medida em que eles têm em si mesmos certa constituição e a natureza da limitação. Mas então, para desviar esta pedra de escândalo, não recua ainda antes do trabalho de demonstração, no sétimo livro adicionado precisamente para esse propósito, as proposições de capital para sua geometria de tal forma que eles permanecem livres da intrusão do infinito. Desta forma, reduz as demonstrações para o caminho comum, anteriormente indicado, de cobrir-se as figuras, isto é, como se observou, da representação da determinação como limite espacial externo. Desta forma de cobertura, em primeiro lugar, pode-se fazer a seguinte observação, que em geral é um recurso (para colocar dessa forma) infantil para intuição sensível. Nas proposições elementares sobre triângulos, dois deles estão representados, lado a lado, e tirando das seis partes deles, três como iguais em tamanho do que os três correspondentes do outro triângulo, é mostrado de modo que tais triângulos são congruentes entre si, ou seja, que cada um também tem as três partes restantes tão grandes quanto tem o outro, porque devido à igualdade daqueles três primeiros eles cobrem [sobrepõe] mutuamente. Para compreender a coisa mais abstratamente, justamente por causa dessa igualdade de cada par de séries das partes que correspondem um ao outro em ambos os triângulos, apenas um único triângulo é apresentado; aqui eles tomam três partes como já determinado, de onde segue a determinação também das outras três partes. A determinação é assim mostrada como terminada em três partes; para a determinação como tal, para portanto, as outras três partes são algo supérfluo, o supérfluo da existência sensível, isto é, da intuição de continuidade. Expresso dessa forma, a determinação qualitativa em sua diferença com respeito ao que é apresentado na intuição, que é o todo como um continuo em si mesmo; a cobertura não alcança essa diferença na consciência. Com as linhas paralelas e nos paralelogramos, uma nova circunstância é introduzida, como foi observado, ou seja, por um lado, a igualdade apenas de seus ângulos, por outro lado a altura das figuras, cuja altura distingue os limites externos deles, isto é, os lados dos paralelogramos. Aqui a incerteza sobre o próximo problema. Até que ponto esses números devem ser tomados, além da determinação de um lado (isto é, da base que é como limite externo) também o outro limite fora, isto é, o outro lado do paralelogramo, ou a altura, para a outra determinação. Em duas figuras de base e altura idênticas, das quais uma é retangular e a outra tem [dois] ângulos opostos muito afiados e consequentemente muito obtusos, pode facilmente esta última olhada da intuição maior do que a primeira, porque a intuição toma o lado principal anterior de uma figura como a determinante, e de acordo com o modo de representação de Cavalieri, compara as superfícies de acordo com uma multidão de linhas paralelas, pelo qual pode ser cortado. Assim, o lado maior pode ser considerado como uma possibilidade de um maior número de linhas do que a oferecida pelo lado perpendicular do retângulo. Sem no entanto, tal representação não oferece qualquer objeção contra o método de Cavalieri; para a multiplicidade de linhas paralelas representadas em ambos os paralelogramos para comparação, pressupõe ao mesmo tempo a igualdade de sua distância recíproca ou em relação à base, de onde se segue que é a altura, e não o outro lado do paralelogramo, o outro momento determinante. Mas isso também muda, quando dois deles são comparados com paralelogramos que são de igual altura e base, mas não estão em um único plano, e formam ângulos diferentes com respeito a um terceiro plano. Aqui as interseções paralelas, que são geradas quando o terceiro plano localizado através deles e avançando paralelo a si mesmo, eles não estão mais em igual distância entre eles, e esses dois planos são mutuamente desiguais. Cavalieri observa com muito cuidado esta diferença, que determina como uma diferença entre o transitus rectus e o transitus obliquus do indivisível (tanto no Exercit, I. n XII e segts, e no Geometr.I, II), e assim corta o caminho para o erro superficial, que poderia ser gerado deste lado. Lembro daquele Barrow na sua obra citada acima (Lect. Geom II, página 21), ao mesmo tempo em que usava o mesmo método de indivisível - no entanto já deslocado e contaminado com a suposição, transmitida por ele ao seu discípulo Newton e os outros matemáticos contemporâneos, e até mesmo Leibniz entre eles, da equivalência de um triângulo curvilíneo, como o chamado característico, com um retilíneo, quando ambos são infinitamente muito pequenos-, ele argumentou precisamente a este respeito uma objeção de Tacquet(16), um geômetra desse tempo, igualmente ativo e afiado nos novos métodos. A dificuldade oposta também se refere ao problema de determinar que linha deva ser tomada, e precisamente o cálculo das superfícies cônicas e esféricas, como momento fundamental da determinação do caminho ao equivoco superficial, que poderia ser gerado por este lado.
Consideração que reside na divisão do descontínuo. Tacquet, objeta, contra o método do indivisível, que se a superfície de um cone retangular fosse calculada, o triângulo do cone seria representado, de acordo com esse método atomístico, como um composto das linhas retas paralelas à base e perpendiculares ao eixo, que são ao mesmo tempo os raios dos círculos em que consistiria na superfície do cone. Agora, se esta superfície é determinada como a soma das periferias, e esta soma é determinada de acordo com a quantidade dos raios destes, isto é, de acordo com a magnitude do eixo, isto é, a altura do cone, então tal resultado estaria em contradição com a verdade ensinada e demonstrada por outro lado por Arquimedes. Agora, Barrow mostra, em vez disso, que para a determinação da superfície do eixo não deve ser tomado, mas o lado do triângulo do cone, como aquela linha cuja revolução gera a superfície, e que, portanto, deve ser ela, e não o eixo, o que deve ser aceito como uma determinação de magnitude para a multidão das periferias.
Tais objeções e incertezas têm sua origem apenas na representação indeterminada que emprega uma infinidade de pontos de que a linha é considerada composta, ou as linhas de que é considerado a superfície, etc. Através desta representação, o determinação essencial da magnitude da linha ou superfície. -O objetivo destas notas foi apontam as determinações afirmativas que, por assim dizer, estão ocultas no fundo, nos vários usos do infinitamente pequeno que é feito em matemática, e trazê-los à luz da nebulosidade em que eles estão envolvidos nessa categoria considerada apenas negativamente. Na série infinita, como na medição arquimedeana do círculo, o infinito não significa nada mais do que isto: que a lei da determinação progressiva, mas não é dada a chamada expressão finita, isto é, aritmética, e a redução do arco à linha reta não pode ser realizada; e essa incomensurabilidade constitui a diferença qualitativa deles. A diferença qualitativa entre o descontínuo e o contínuo em geral, contém do mesmo modo, uma determinação negativa que os faz parecer incomensuráveis e carrega consigo o infinito, no sentido de que o contínuo, que deve ser tomado como descontínuo, não deve mais ter quanto de acordo com sua determinação continua. A coisa contínua que tem que ser tomada aritmeticamente como produto, é assim colocado de forma descontínua em si mesmo, ou é fracionado nos elementos que são seus fatores. Nestes é a sua determinação de magnitude. Mas precisamente porque são estes fatores ou elementos, são de menor dimensão; e enquanto a determinação potencial é introduzida, eles são de menor potência em relação à magnitude da qual são elementos ou fatores. Aritmeticamente isso diferença como simples diferença quantitativa, [diferença] entre raiz e potência, ou qualquer [outra] determinação potencial que é, no entanto, quando a expressão é direcionada apenas para o quantitativo como tal, por exemplo, a: a2, ou d: a2 = 2a: a2= 2: a; ou, pela lei da queda, t: at, então dá as relações insignificantes de 1: a, 2 a, 1: at. Os lados devem ser mantidos separados, diante de sua determinação puramente quantitativa por meio do significado qualitativo diferente, como s: at2, através do qual a unidade é expressa como uma qualidade ou como uma função da magnitude de outra qualidade. Aqui, então, é simplesmente consciência, a determinação quantitativa, com a qual ela opera sem dificuldade em seu próprio caminho, e não pode haver problema em multiplicar a magnitude de uma linha pela magnitude de outra linha. Mas a multiplicação dessas mesmas magnitudes dá tanto mudança qualitativa da transferência da linha para a superfície; e neste, uma determinação negativa é introduzida. Este é o que gera a dificuldade, que por meio da intuição de sua peculiaridade e da natureza simples da coisa é resolvida, mas por meio do recurso ao infinito, por meio do qual deve ser evitado, basta colocar em uma desordem e manteve absolutamente sem solução.
continua>>>Notas de rodapé:
(1) Neopitagórico que viveu na época de Nero. (retornar ao texto)
(2) Na nota acrescentada à tese da primeira antinomia cosmológica, na Crítica da razão pura. (retornar ao texto)
(3) CAVALIERI FRANCESCO BONAVENTURA, 1598-1647, professor de Matemática em Bolonha:Geometria indivisibilium continuorum, nova, 1635; Exercitaciones geometricae, 1647. (retornar ao texto)
(4) CARNOT, LAZARE NICOLAS MARGUERITE, conde, 1753-1823, o "organizador da vitória" do exército republicano, igualmente notável como um político e militar até seu exílio em 1815, ele morreu em Magdeburg. As Reflexões, etc., datam de 1797. (retornar ao texto)
(5) EULER, LEOPOLD, 1707-1783. Professor em São Petersburgo, Berlim e novamente em São Petersburgo: introductio in analyysin 'infinitorum, 1748; Instituições calculi differentíalis, 1755; Instit. cale. integralis, 1768 a 1794. (retornar ao texto)
(6) LAGRANGE, o. Louis, 1736-1812, sucessor de Euler em Berlim, então professor na École Polytechnique de Paris: Théorie de fonctions análises, 1797. (retornar ao texto)
(7) Landen, JOHN, matemático inglês, 1719-1790: Matherubical lucubrations, 1755, etc. (retornar ao texto)
(8) FERMAT, PIERRE DE, 1601-1665: Varia opera mathematica, 1679. (retornar ao texto)
(9) BARROW, ISAAC, 1630-1677. Professor em Cambridge: Lechones geometricae, 1669, Lectiones opticae, 1674 (retornar ao texto)
(10) Os dois aspectos são colocados lado a lado de uma maneira simples em Lagrange, na aplicação da teoria das funções da mecânica, no capítulo sobre o movimento retilíneo (Théorie des fonct., 3me.P., cap. 4). O espaço coberto, considerado como função do tempo decorrido, dá a equação x = ft; Isto, desenvolvido como f (t + -θ), dá ft + θf t + θ'2f t + θ ² / 2 f't + etc. Portanto, o espaço percorrido durante o tempo é representado na fórmula: = θ f't + θ'² / 2 f t + θ ³ /2.3 f 't + etc. O movimento através do qual este espaço é percorrido é, portanto (assim foi dito), isto é porque o desenvolvimento analítico dá uma pluralidade e certamente uma multiplicidade infinita de membros - composta de diferentes movimentos parciais, cuja espaços, correspondentes ao tempo, serão θf't, θ² / 2 f''t, θ³ / 2.3 f '' 't, etc. O primeiro movimento parcial, no movimento conhecido, é o formalmente uniforme, com velocidade determinada por f't; o segundo é o uniformemente acelerado, que vem de uma força de aceleração proporcional a ft. "Desde então, os membros restantes não se referem a nenhum movimento simples sabido, não é necessário, portanto, levá-los em consideração em particular, e mostraremos que pode ser abstraído deles na determinação do movimento no início do momento (ponto do tempo)." Isso agora é mostrado, mas sem dúvida que somente na comparação dessa série, cujos membros pertencem à determinação da magnitude do espaço percorrido no tempo, com a equação dada no art. 3 para o movimento da queda, x = at + bt 2, assim onde somente esses dois membros são apresentados. Mas esta equação a recebeu mesma essa forma apenas pelo pressuposto da explicação dada aos membros surgiu através do desenvolvimento analítico. Este pressuposto consiste em afirmar que o movimento uniformemente acelerado é composto de um movimento formalmente uniforme, continuou com a velocidade alcançada na parte do tempo antecedente, e um aumento (o a da equação s = at, isto é, o coeficiente empírico) que é atribuído à força da gravidade - que é uma diferença que não tem como uma existência ou uma fundação própria da natureza da coisa, mas essa é apenas a expressão, falsamente convertida em física, do que resulta em uma operação analítica suportada. (retornar ao texto)
(11) A categoria da magnitude contínua ou fluente é apresentada com a consideração da mutação extrínseca e empírica das magnitudes - que por meio de uma equação são trazidos para uma relação tal que um é uma função do outro. Mas como o objeto científico, o cálculo diferencial é certa relação (usualmente expressa por meio do coeficiente diferencial), cuja determinação pode igualmente ser chamada de lei, então para esta determinação específica a pura continuidade é parcialmente e um lado estranho, mas em parte e em qualquer caso, é a categoria abstrata e aqui vazia, porque com ela nada se expressa sobre a lei de continuidade. -Quais definições formais caem aqui na íntegra, devem ser vistas na exposição geral aguda do meu honorável colega professor Dírksen(DIRKSEN, ENNO HEREN, 1792-1850, professor de matemática em Berlim: Analytiscbe Darstellung der Variationsrechnung, 1823.), sobre as determinações fundamentais que são usadas para a dedução do cálculo diferencial, que está ligada à crítica de alguns trabalhos recentes sobre esta ciência e está no Jahrbueb der Wissensch, Kritik (Anais da crítica científica), 1827, N '153; lá, p. 1251, a seguinte definição também é citada: "Uma magnitude constante ou contínua, a contínua, é qualquer magnitude que é pensada na situação de tornar-se, de modo que esta evolução não ocorra de forma salutar, mas através de um progresso ininterrupto. "Isto ainda é perfeitamente tautológico, o mesmo que definido. (retornar ao texto)
(12) SCHUBERT, FRIEDR. THEOD. VON, 1758-1825, diretor do Observatório Astronômico de São Petersburgo: Lehrbuch der teorischen Astronomia, 1798; Populare Astronomie, 3 volumes, 1804-1810. (retornar ao texto)
(13) PERSONNE, GILLES, SIEUR DE ROBERVAL, 1602-1675. (retornar ao texto)
(14) VALERIUS, LUCAS, † 1618 em Roma, chamado por Galilei, o Arquimedes de seu tempo: De quadratura parabolae por simplex failsum. (retornar ao texto)
(15) Nas críticas citadas acima (Jahrb. Für. Wissensch, Krit., IIt., 1827, n. 155, pp. 6 e segs.) Há afirmações interessantes de um profundo conhecedor no campo, Sr. Spehr(SPEHR, FRIEDRICH WILHELM, 1799-1833, matemático em Brunswick; Vollständiger, Lehrbegriff der reinen Kombinationslehre, 1824.), citado de seus novos princípios no cálculo de fluxões (Neuen Prinzipien des Fluentenkalkuls), Brunswick, 1826, que se referem precisamente a uma circunstância que contribuiria essencialmente para a escuridão e falta de caráter científico no cálculo diferencial, e concorda com o que foi dito acima sobre a relação geral da teoria deste cálculo. "Eles não se separaram do cálculo diferencial em si" (diz-se lá) "investigações puramente aritméticas, que por sinal têm um relacionamento com o cálculo diferencial em primeiro lugar entre todos os similares; em vez disso, essas investigações foram tomadas (como Lagrange) para a coisa em si, enquanto isso foi considerado apenas como uma aplicação deles. Estas investigações aritméticas compreendem em si as regras de diferenciação, a derivação do teorema de Taylor etc., em vez dos mesmos métodos diferentes de integração. O caso é completamente inverso; são precisamente aquelas aplicações que constituem o objeto do próprio cálculo diferencial, e em vez disso coloca todos esses desenvolvimentos e operações aritméticas como provenientes da análise. "-foi mostrado [acima] como em Lagrange a separação entre a chamada aplicação e o procedimento da parte geral, que procede da série, serve precisamente para trazer à evidência a questão peculiar do cálculo diferencial. Mas nas interessantes intuições do autor, precisamente as chamadas aplicações são o que constitui o objeto do cálculo diferencial em si, é necessário se surpreender que ele constitua deixe-a conduzir à metafísica formal (da qual ele próprio fala) das magnitudes contínuas, do devir, do fluir, etc., e que querido ainda aumentar esse lastro com outro novo. Estas determinações são formais, porque são apenas categorias gerais que precisamente Eles oferecem a especificidade da coisa, que teve que ser conhecida e abstraída de acordo com as doutrinas e aplicações concretas. (retornar ao texto)
(16) TACQUET, ANDR., 1611-1660, professor do colégio dos jesuítas em Antuérpia: Cylindricorum et annularium libri V, 1651-59. (retornar ao texto)